Cálculo Exemplos

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Etapa 1

Escreva $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ como uma função.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 36$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Some $1$ e $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.7

Combine $7$ e $\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.1.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.1.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (72 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.1.4

Multiplique $72$ por $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.2

Combine os termos opostos em $14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.4.2.1

Subtraia $14 x^{3}$ de $14 x^{3}$ .

$\frac{504 x + 0}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.1.8.4.2.2

Some $504 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$504 x = 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $504 x = 0$ por $504$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $504 x = 0$ por $504$ .

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $504$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{504}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $504$ .

$x = 0$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{504 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $504$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $1$ e $36$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{37^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $37$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{1369}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{504}{1369}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{504}{1369}$ .

$- \frac{504}{1369}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{504}{1369}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{504 (1)}{{({(1)}^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $504$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{504}{{(1^{2} + 36)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{504}{{(1 + 36)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $1$ e $36$ .

$f' (1) = \frac{504}{37^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $37$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{504}{1369}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{504}{1369}$ .

$\frac{504}{1369}$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{504}{1369}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0)$

Etapa 9