Cálculo Exemplos

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Etapa 1

Escreva $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ como uma função.

$f (t) = \frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $3 t^{2} + 27$ por $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} + 27$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7

Como $27$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $27$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.8.1

Some $6 t$ e $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.8

Subtraia $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$4 \frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.9

Combine $4$ e $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.2.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.2.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.3.1

Fatore $12$ de $- 12 t^{2} + 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.3.1.1

Fatore $12$ de $- 12 t^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.3.1.2

Fatore $12$ de $108$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.3.1.3

Fatore $12$ de $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.3.3

Reordene $- t^{2}$ e $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = t$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.4.1

Fatore $3$ de $3 t^{2} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.4.1.1

Fatore $3$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.4.1.2

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.4.1.3

Fatore $3$ de $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Etapa 2.1.10.4.2

Aplique a regra do produto a $3 (t^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.5

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.5.1

Fatore $3$ de $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.10.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.5.2.1

Fatore $3$ de $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Etapa 2.1.10.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Etapa 2.1.10.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $3 + t$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Defina $3 + t$ como igual a $0$ .

$3 + t = 0$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$t = - 3$

Etapa 3.3.3

Defina $3 - t$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $3 - t$ como igual a $0$ .

$3 - t = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $3 - t = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- t = - 3$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida cada termo em $- t = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- t = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$t = 3$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ verdadeiro.

$t = - 3, 3$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $t$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $t$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$f' (- 4) = \frac{4 \cdot (- 1 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Fatore o negativo.

$f' (- 4) = \frac{- (4 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Some $3$ e $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.3.2

Some $16$ e $9$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 25^{2}}$

Etapa 6.2.3.3

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 625}$

Etapa 6.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $3$ por $625$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{1875}$

Etapa 6.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 4) = - \frac{28}{1875}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Etapa 6.3

Em $t = - 4$ , a derivada é $- \frac{28}{1875}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f' (t) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Remova os parênteses.

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Cancele o fator comum de $3 + 0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1

Fatore $3$ de $4 (3 + 0) (3 - (0))$ .

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 ({({(0)}^{2} + 9)}^{2})}$

Etapa 7.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 - (0))}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot (1 (3 + 0))}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Some $3$ e $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{2}}$

Etapa 7.2.3.2

Some $0$ e $9$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9^{2}}$

Etapa 7.2.3.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{81}$

Etapa 7.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (0) = \frac{12}{81}$

Etapa 7.2.4.2

Cancele o fator comum de $12$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f' (0) = \frac{3 (4)}{81}$

Etapa 7.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.2.1

Fatore $3$ de $81$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Etapa 7.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Etapa 7.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (0) = \frac{4}{27}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Etapa 7.3

Em $t = 0$ , a derivada é $\frac{4}{27}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 3, 3)$ .

Acréscimo em $(- 3, 3)$ , pois $f' (t) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $t$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Remova os parênteses.

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $3$ e $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot (7 (3 - 4))}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$f' (4) = \frac{28 (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Subtraia $4$ de $3$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Etapa 8.2.3.2

Some $16$ e $9$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 25^{2}}$

Etapa 8.2.3.3

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 625}$

Etapa 8.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Multiplique $28$ por $- 1$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Etapa 8.2.4.2

Multiplique $3$ por $625$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{1875}$

Etapa 8.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (4) = - \frac{28}{1875}$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Etapa 8.3

Em $t = 4$ , a derivada é $- \frac{28}{1875}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(3, \infty)$ .

Decréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (t) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 3, 3)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Etapa 10