Cálculo Exemplos

$e^{- 1.5 x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $e^{- 1.5 x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 1.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1.5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Etapa 2.1.3.2

Reordene os fatores em $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Etapa 3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina $e^{- 1.5 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $e^{- 1.5 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 1.5$ por $1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Etapa 6.2.5

Combine $3$ e $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

Etapa 6.2.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Etapa 6.2.7

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.5$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

Etapa 6.2.8

Divida $3$ por $4.48168907$ .

$f' (- 1) = 0.66939048$

Etapa 6.2.9

A resposta final é $0.66939048$ .

$0.66939048$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $0.66939048$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 1.5$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

Etapa 7.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Etapa 7.2.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

Etapa 7.2.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Etapa 7.2.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.5$ .

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

Etapa 7.2.9

Divida $3$ por $4.48168907$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

Etapa 7.2.10

Multiplique $- 1$ por $0.66939048$ .

$f' (1) = - 0.66939048$

Etapa 7.2.11

A resposta final é $- 0.66939048$ .

$- 0.66939048$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 0.66939048$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0)$

Decréscimo em: $(0, \infty)$

Etapa 9