Cálculo Exemplos

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Etapa 1.2

Resolva $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Etapa 1.2.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva $\ln (7 e^{x})$ como $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Etapa 1.2.2.2

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Etapa 1.2.2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Etapa 1.2.3

Expanda o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $\ln (7 x e^{x})$ como $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\ln (7 x)$ como $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Etapa 1.2.3.3

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Etapa 1.2.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Etapa 1.2.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Etapa 1.2.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 1.2.7.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Etapa 1.2.7.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Etapa 1.2.8

Some $- x$ e $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Etapa 1.2.9

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Etapa 1.2.10

Reescreva $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.2.11

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.11.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Etapa 1.2.11.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Etapa 1.2.11.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.11.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Etapa 1.2.11.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x + y = 7 x e^{x}$

Etapa 1.2.11.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.11.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Etapa 1.2.11.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.11.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.11.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Etapa 1.2.11.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 1 x$

Etapa 1.2.11.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.11.4.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 = x$

Etapa 1.2.11.5

Reescreva a equação como $x = 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 7 (1) \cdot e$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$y = 7 e$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, 7 e)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Etapa 3.4

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Etapa 3.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Etapa 3.6

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Etapa 3.7

Como $- 7$ é constante com relação a $x$ , mova $- 7$ para fora da integral.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Etapa 3.8

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Etapa 3.9

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1

Avalie $x e^{x}$ em $1$ e em $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Etapa 3.9.2

Avalie $e^{x}$ em $1$ e em $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Etapa 3.9.3

Avalie $e^{x}$ em $1$ e em $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4

Simplifique.

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Etapa 3.9.4.1

Simplifique.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.5

Some $e$ e $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.6

Simplifique.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Etapa 3.9.4.9

Simplifique.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Etapa 3.9.4.10

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Etapa 3.9.4.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.10.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.10.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Etapa 3.10.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Etapa 3.10.1.2

Subtraia $e$ de $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Etapa 3.10.1.3

Some $0$ e $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Etapa 3.10.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Etapa 3.10.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Etapa 3.10.1.6

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Etapa 3.10.2

Some $7$ e $7$ .

$14 - 7 e$

Etapa 4