Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 16$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\sqrt{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{16} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $16$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} d x$

Etapa 3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}$

Etapa 3.5

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Avalie $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ em $16$ e em $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2

Simplifique.

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Etapa 3.5.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.6

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 3.5.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 3.5.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Etapa 3.5.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Etapa 3.5.2.11

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{128}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Etapa 3.5.2.12

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + 0$

Etapa 3.5.2.13

Some $\frac{128}{3}$ e $0$ .

$\frac{128}{3}$

Etapa 4