Cálculo Exemplos

$x = y^{2} - 10 y$ , $x = 5 y - y^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$y^{2} - 10 y = 5 y - y^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $y^{2} - 10 y = 5 y - y^{2}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia $5 y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 10 y - 5 y = - y^{2}$

Etapa 1.2.1.2

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$y^{2} - 10 y - 5 y + y^{2} = 0$

Etapa 1.2.1.3

Some $y^{2}$ e $y^{2}$ .

$2 y^{2} - 10 y - 5 y = 0$

Etapa 1.2.1.4

Subtraia $5 y$ de $- 10 y$ .

$2 y^{2} - 15 y = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $y$ de $2 y^{2} - 15 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $y$ de $2 y^{2}$ .

$y (2 y) - 15 y = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $y$ de $- 15 y$ .

$y (2 y) + y \cdot - 15 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $y$ de $y (2 y) + y \cdot - 15$ .

$y (2 y - 15) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$2 y - 15 = 0 + x = 5 y - y^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $2 y - 15$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $2 y - 15$ como igual a $0$ .

$2 y - 15 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $2 y - 15 = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$2 y = 15$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $2 y = 15$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 y = 15$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{15}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{15}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{15}{2}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $y (2 y - 15) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, \frac{15}{2}$

Etapa 1.3

Avalie $x$ quando $y = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $y$ .

$x = 5 (0) - {(0)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $y$ em $x = 5 (0) - {(0)}^{2}$ e resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$x = 5 (0) - 0^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $5 (0) - 0^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$x = 0 - 0^{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0 - 0$

Etapa 1.3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$x = 0 + 0$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $x$ quando $y = \frac{15}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $\frac{15}{2}$ por $y$ .

$x = 5 (\frac{15}{2}) - {(\frac{15}{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $5 (\frac{15}{2}) - {(\frac{15}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Multiplique $5 (\frac{15}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1.1

Combine $5$ e $\frac{15}{2}$ .

$x = \frac{5 \cdot 15}{2} - {(\frac{15}{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $15$ .

$x = \frac{75}{2} - {(\frac{15}{2})}^{2}$

Etapa 1.4.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$x = \frac{75}{2} - \frac{15^{2}}{2^{2}}$

Etapa 1.4.2.1.3

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$x = \frac{75}{2} - \frac{225}{2^{2}}$

Etapa 1.4.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{75}{2} - \frac{225}{4}$

Etapa 1.4.2.2

Para escrever $\frac{75}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{225}{4}$

Etapa 1.4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique $\frac{75}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{225}{4}$

Etapa 1.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{75 \cdot 2}{4} - \frac{225}{4}$

Etapa 1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{75 \cdot 2 - 225}{4}$

Etapa 1.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.5.1

Multiplique $75$ por $2$ .

$x = \frac{150 - 225}{4}$

Etapa 1.4.2.5.2

Subtraia $225$ de $150$ .

$x = \frac{- 75}{4}$

Etapa 1.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{75}{4}$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- \frac{75}{4}, \frac{15}{2})$

$(0, 0)$

$(- \frac{75}{4}, \frac{15}{2})$

Etapa 2

Reordene $5 y$ e $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 5 y$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{15}{2}} - y^{2} + 5 y d y - \int_{0}^{\frac{15}{2}} y^{2} - 10 y d y$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $\frac{15}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{\frac{15}{2}} - y^{2} + 5 y - (y^{2} - 10 y) d y$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y^{2} + 5 y - y^{2} - (- 10 y)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$- y^{2} + 5 y - y^{2} + 10 y$

$\int_{0}^{\frac{15}{2}} - y^{2} + 5 y - y^{2} + 10 y d y$

Etapa 4.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$- 2 y^{2} + 5 y + 10 y$

Etapa 4.3.2

Some $5 y$ e $10 y$ .

$- 2 y^{2} + 15 y$

$\int_{0}^{\frac{15}{2}} - 2 y^{2} + 15 y d y$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{\frac{15}{2}} - 2 y^{2} d y + \int_{0}^{\frac{15}{2}} 15 y d y$

Etapa 4.5

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{0}^{\frac{15}{2}} y^{2} d y + \int_{0}^{\frac{15}{2}} 15 y d y$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{\frac{15}{2}}) + \int_{0}^{\frac{15}{2}} 15 y d y$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{15}{2}}) + \int_{0}^{\frac{15}{2}} 15 y d y$

Etapa 4.8

Como $15$ é constante com relação a $y$ , mova $15$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{15}{2}}) + 15 \int_{0}^{\frac{15}{2}} y d y$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{15}{2}}) + 15 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{\frac{15}{2}})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$- 2 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\frac{15}{2}}) + 15 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{\frac{15}{2}})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Avalie $\frac{y^{3}}{3}$ em $\frac{15}{2}$ e em $0$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 15 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{\frac{15}{2}})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $\frac{y^{2}}{2}$ em $\frac{15}{2}$ e em $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} - 0) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 0) + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.4

Some $\frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3}$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.3.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 4.10.2.3.6

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.6.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 4.10.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 4.10.2.3.6.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Etapa 4.10.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 (\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Etapa 4.10.2.3.8

Some $\frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{15}{2})}^{3}}{3} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{15^{3}}{2^{3}}}{3} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.1.2

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$- 2 \frac{\frac{3375}{2^{3}}}{3} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 \frac{\frac{3375}{8}}{3} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 2 (\frac{3375}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.3.1

Fatore $3$ de $3375$ .

$- 2 (\frac{3 (1125)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (\frac{3 \cdot 1125}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{1125}{8}) + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1125}{8} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.4.2

Fatore $2$ de $8$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1125}{2 \cdot 4} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{1125}{2 \cdot 4} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1125}{4} + 15 \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$- \frac{1125}{4} + 15 \frac{\frac{15^{2}}{2^{2}}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.5.2

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$- \frac{1125}{4} + 15 \frac{\frac{225}{2^{2}}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{1125}{4} + 15 \frac{\frac{225}{4}}{2}$

Etapa 4.10.3.1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1125}{4} + 15 (\frac{225}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 4.10.3.1.7

Multiplique $\frac{225}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.7.1

Multiplique $\frac{225}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1125}{4} + 15 \frac{225}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.10.3.1.7.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{1125}{4} + 15 (\frac{225}{8})$

Etapa 4.10.3.1.8

Multiplique $15 (\frac{225}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.1.8.1

Combine $15$ e $\frac{225}{8}$ .

$- \frac{1125}{4} + \frac{15 \cdot 225}{8}$

Etapa 4.10.3.1.8.2

Multiplique $15$ por $225$ .

$- \frac{1125}{4} + \frac{3375}{8}$

Etapa 4.10.3.2

Para escrever $- \frac{1125}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1125}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3375}{8}$

Etapa 4.10.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.3.1

Multiplique $\frac{1125}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1125 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3375}{8}$

Etapa 4.10.3.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{1125 \cdot 2}{8} + \frac{3375}{8}$

Etapa 4.10.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1125 \cdot 2 + 3375}{8}$

Etapa 4.10.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.5.1

Multiplique $- 1125$ por $2$ .

$\frac{- 2250 + 3375}{8}$

Etapa 4.10.3.5.2

Some $- 2250$ e $3375$ .

$\frac{1125}{8}$

Etapa 5