Cálculo Exemplos

$y = x - x^{5}$

Etapa 1

Reordene $x$ e $- x^{5}$ .

$y = - x^{5} + x$

Etapa 2

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = - x^{5} + x$

Etapa 3

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{5} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 1$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 5 x^{4} + 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 5 x^{4} = - 1$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- 5 x^{4} = - 1$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- 5 x^{4} = - 1$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 5}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{4} = \frac{1}{5}$

Etapa 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$

Etapa 4.4

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$

Etapa 4.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$

Etapa 4.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Etapa 4.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Etapa 4.4.4.2

Eleve $\sqrt[4]{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Etapa 4.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1 + 3}}$

Etapa 4.4.4.4

Some $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{4}}$

Etapa 4.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[4]{5}}^{4}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{5}$ como $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{(5^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Etapa 4.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Etapa 4.4.4.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 4.4.4.5.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 4.4.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{1}}$

Etapa 4.4.4.5.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5}$

Etapa 4.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.5.1

Reescreva ${\sqrt[4]{5}}^{3}$ como $\sqrt[4]{5^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5^{3}}}{5}$

Etapa 4.4.5.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}, - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = - x^{5} + x$ em $x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Remova os parênteses.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Reescreva ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ como $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.2.2

Eleve $125$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva $30517578125$ como $125^{4} \cdot 125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.3.1

Fatore $244140625$ de $30517578125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.2.3.2

Reescreva $244140625$ como $125^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.4

Cancele o fator comum de $125$ e $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.4.1

Fatore $125$ de $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.4.2.1

Fatore $125$ de $3125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 5.2.3

Para escrever $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 5.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Etapa 5.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + 5 \cdot \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 5.2.6.2

Some $- \sqrt[4]{125}$ e $5 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 5.2.7

A resposta final é $\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 6

Resolva a função original $f (x) = - x^{5} + x$ em $x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{5}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.2.3

Some $5$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{6} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = 1 (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Reescreva ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ como $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.5.2

Eleve $125$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.5.3

Reescreva $30517578125$ como $125^{4} \cdot 125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.3.1

Fatore $244140625$ de $30517578125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.5.3.2

Reescreva $244140625$ como $125^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.5.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.6

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.7

Cancele o fator comum de $125$ e $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.7.1

Fatore $125$ de $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.7.2.1

Fatore $125$ de $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Etapa 6.2.3

Para escrever $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 6.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $25$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Etapa 6.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Etapa 6.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - 5 \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 6.2.6.2

Subtraia $5 \sqrt[4]{125}$ de $\sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 6.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 6.2.8

A resposta final é $- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 7

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = - x^{5} + x$ são $y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Etapa 8