Cálculo Exemplos

$y = 5 x - 10 \cos (x)$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 10 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$5 - 10 (- \sin (x))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$5 + 10 \sin (x)$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 + 10 \sin (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$10 \sin (x) = - 5$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $10 \sin (x) = - 5$ por $10$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $10 \sin (x) = - 5$ por $10$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 5}{10}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $10$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$\sin (x) = \frac{5 (- 1)}{10}$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.1.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 3.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 3.6.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 3.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 3.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.8.3

Combine frações.

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Etapa 3.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 3.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 3.8.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 3.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 3.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ em $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{7 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = 5 (\frac{7 π}{6}) - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $5 (\frac{7 π}{6})$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Combine $5$ e $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 (7 π)}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $7$ por $5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

Etapa 4.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 4.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.1.4.2

Fatore $2$ de $- 10$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 5 (- \sqrt{3})$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ em $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = 5 (\frac{11 π}{6}) - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $5 (\frac{11 π}{6})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $5$ e $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{5 (11 π)}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 5.2.1.1.2

Multiplique $11$ por $5$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

Etapa 5.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 5.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.4.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 5.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 5.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Etapa 6

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ são $y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

Etapa 7