Cálculo Exemplos

$y = (x^{2} - 99) e^{x}$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

Etapa 2

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 99 e^{x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 99$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 99 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$

Etapa 3.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 99 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$ .

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Etapa 4.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 99 e^{x}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 99 e^{x} = 0$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 99 e^{x} = 0$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $e^{x}$ de $- 99 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

Etapa 4.1.1.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99 = 0$

Etapa 4.1.1.5

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 99$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 99) = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore.

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Etapa 4.1.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 99$ usando o método AC.

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Etapa 4.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 99$ e cuja soma é $2$ .

$- 9, 11$

Etapa 4.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$e^{x} ((x - 9) (x + 11)) = 0$

Etapa 4.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$

Etapa 4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 11 = 0$

Etapa 4.3

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 4.3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 4.4

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 4.4.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 4.5

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x - 9) (x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, - 11$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ em $x = 9$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = {(9)}^{2} e^{9} - 99 e^{9}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f (9) = 81 e^{9} - 99 e^{9}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $99 e^{9}$ de $81 e^{9}$ .

$f (9) = - 18 e^{9}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 18 e^{9}$ .

$- 18 e^{9}$

Etapa 6

Resolva a função original $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ em $x = - 11$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 11$ na expressão.

$f (- 11) = {(- 11)}^{2} e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 11$ à potência de $2$ .

$f (- 11) = 121 e^{- 11} - 99 e^{- 11}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 11) = 121 (\frac{1}{e^{11}}) - 99 e^{- 11}$

Etapa 6.2.1.3

Combine $121$ e $\frac{1}{e^{11}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 e^{- 11}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - 99 \frac{1}{e^{11}}$

Etapa 6.2.1.5

Combine $- 99$ e $\frac{1}{e^{11}}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} + \frac{- 99}{e^{11}}$

Etapa 6.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 11) = \frac{121}{e^{11}} - \frac{99}{e^{11}}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 11) = \frac{121 - 99}{e^{11}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $99$ de $121$ .

$f (- 11) = \frac{22}{e^{11}}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{22}{e^{11}}$ .

$\frac{22}{e^{11}}$

Etapa 7

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x^{2} e^{x} - 99 e^{x}$ são $y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$ .

$y = - 18 e^{9}, y = \frac{22}{e^{11}}$

Etapa 8