Cálculo Exemplos

$x y^{2} + x^{2} y = 6$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x y^{2} + x^{2} y - 6 = 0$

Etapa 1.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.3

Substitua os valores $a = x$ , $b = x^{2}$ e $c = - 6$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- x^{2} \pm \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (x \cdot - 6)}}{2 x}$

Etapa 1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Etapa 1.4.3

Fatore $x$ de $x^{4} + 24 x$ .

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Etapa 1.4.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Etapa 1.4.3.2

Fatore $x$ de $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Etapa 1.4.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.5.1

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.5.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.5.3

Fatore $- 1$ de $\sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Etapa 1.5.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Etapa 1.5.5

Reescreva $- (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ como $- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Etapa 1.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Etapa 1.6.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4 \cdot x \cdot - 6}}{2 x}$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x^{4} + 24 x}}{2 x}$

Etapa 1.6.1.3

Fatore $x$ de $x^{4} + 24 x$ .

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Etapa 1.6.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + 24 x}}{2 x}$

Etapa 1.6.1.3.2

Fatore $x$ de $24 x$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot 24}}{2 x}$

Etapa 1.6.1.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot 24$ .

$y = \frac{- x^{2} \pm \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.6.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.6.3

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.6.4

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{x (x^{3} + 24)}$ .

$y = \frac{- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Etapa 1.6.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (\sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Etapa 1.6.6

Reescreva $- (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ como $- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)})}{2 x}$

Etapa 1.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 1.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

$y = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x} \to f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $x y^{2} + x^{2} y = 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x^{2} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} + x^{2} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.2.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 3.2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + y (2 x)$

Etapa 3.2.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + x^{2} y' + 2 y x$

Etapa 3.2.4

Reordene os termos.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y$

Etapa 3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y^{2} + 2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' + x^{2} y' + 2 x y = - y^{2}$

Etapa 3.5.1.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 3.5.2

Fatore $x y'$ de $2 x y y' + x^{2} y'$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x y'$ de $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) + x^{2} y' = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $x y'$ de $x^{2} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' x = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' (2 y) + x y' x$ .

$x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ por $x (2 y + x)$ e simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $x y' (2 y + x) = - y^{2} - 2 x y$ por $x (2 y + x)$ .

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (2 y + x)}{x (2 y + x)} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $2 y + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} + \frac{- 2 y}{2 y + x}$

Etapa 3.5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x}$

Etapa 3.5.3.3.2

Para escrever $- \frac{2 y}{2 y + x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y}{2 y + x} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 3.5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (2 y + x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{2 y}{2 y + x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{(2 y + x) x}$

Etapa 3.5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(2 y + x) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y + x)} - \frac{2 y x}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.5

Fatore $y$ de $- y^{2} - 2 y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.5.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.5.2

Fatore $y$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.5.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.9.1

Reescreva $- (y + 2 x)$ como $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.5.3.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{y (y + 2 x)}{x (2 y + x)} = 0$ .

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Etapa 4.1

Defina o numerador como igual a zero.

$y (y + 2 x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $y (y + 2 x) = 0$ por $y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Divida cada termo em $y (y + 2 x) = 0$ por $y$ .

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (y + 2 x)}{y} = \frac{0}{y}$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Divida $y + 2 x$ por $1$ .

$y + 2 x = \frac{0}{y}$

Etapa 4.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Divida $0$ por $y$ .

$y + 2 x = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$2 x = - y$

Etapa 4.2.3

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y}{2}$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} - \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{y}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.8

Para escrever $24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.9

Combine $24$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.11

Multiplique $24$ por $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.12.1

Multiplique $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ por $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.12.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13

Reescreva $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ como ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.13.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.2

Fatore a potência perfeita $4^{2}$ de $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.4

Reordene $- 1$ e ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.7

Reescreva $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.8

Adicione parênteses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.13.9

Adicione parênteses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - ({(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.15

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.17

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y})}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.18

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} - \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.1.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Etapa 5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{- 2 y}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Etapa 5.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Etapa 5.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $- y$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Etapa 5.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Etapa 5.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Etapa 5.2.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 5.2.7

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Etapa 5.2.8

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $- - \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Etapa 5.2.9.2

Multiplique $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Etapa 5.2.10

Reordene os fatores em $\frac{y^{2} - \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Etapa 5.2.11

A resposta final é $\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x^{2} + \sqrt{x (x^{3} + 24)}}{2 x}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{y}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- \frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{(- \frac{y}{2}) ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{1 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{2^{2}} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- \frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{y}{2})}^{3} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{3}}{2^{3}}) + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{2^{3}} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.8

Para escrever $24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + 24 \cdot \frac{8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.9

Combine $24$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y^{3}}{8} + \frac{24 \cdot 8}{8})}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 24 \cdot 8}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.11

Multiplique $24$ por $8$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{y}{2} \cdot \frac{- y^{3} + 192}{8}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.12.1

Multiplique $\frac{- y^{3} + 192}{8}$ por $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{8 \cdot 2}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.12.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13

Reescreva $- \frac{(- y^{3} + 192) y}{16}$ como ${({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.13.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(- y^{3} + 192) y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{16}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.2

Fatore a potência perfeita $4^{2}$ de $16$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- \frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((- y^{3} + 192) y)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{- ({(\frac{1}{4})}^{2} ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.4

Reordene $- 1$ e ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{4})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2^{2}})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.7

Reescreva $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.8

Adicione parênteses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- 1 ((- y^{3} + 192) y))}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.13.9

Adicione parênteses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \sqrt{{({(\frac{1}{2})}^{2})}^{2} \cdot (- (- y^{3} + 192) y)}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.15

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.17

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.18

Combine $\frac{1}{4}$ e $\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2}}{4} + \frac{\sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.1.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{2 (- \frac{y}{2})}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- 2 \frac{y}{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- 2 y}{2}}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{- 2 y}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2}}$

Etapa 6.2.3.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 (1)}}$

Etapa 6.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{\frac{- y}{1}}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $- y$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}}{- y}$

Etapa 6.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{- y})$

Etapa 6.2.5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- y})$

Etapa 6.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot (- \frac{1}{y}))$

Etapa 6.2.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (- \frac{y}{2}) = - (- \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 6.2.7

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{y \cdot 4}$

Etapa 6.2.8

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 \cdot y}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $- - \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y})$

Etapa 6.2.9.2

Multiplique $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$

Etapa 6.2.10

Reordene os fatores em $\frac{y^{2} + \sqrt{- (- y^{3} + 192) y}}{4 y}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Etapa 6.2.11

A resposta final é $\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$ .

$\frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Etapa 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

$y = \frac{y^{2} - \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}, y = \frac{y^{2} + \sqrt{- y (- y^{3} + 192)}}{4 y}$

Etapa 8