Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 5}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 5}}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 5}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{16 x^{2} + 5}}$

Etapa 3.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $16$ por $1$ .

$4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$4 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$4 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 16 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.7

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{16 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.8

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{16 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{16 + 5 \cdot 0}}$

Etapa 3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{16 + 0}}$

Etapa 3.5.1.2

Some $16$ e $0$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{16}}$

Etapa 3.5.1.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 3.5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 (\frac{1}{4})$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{1}{4})$

Etapa 3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{\sqrt{16 x^{2} + 5}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 4.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{16 x^{2} + 5}}$

Etapa 4.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite.

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.2.2

Divida $16$ por $1$ .

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$4 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.5

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$4 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$4 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.8

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$4 \frac{1}{- \sqrt{16 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.9

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{1}{- \sqrt{16 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{1}{- \sqrt{16 + 5 \cdot 0}}$

Etapa 4.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 4.5.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$4 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{16 + 5 \cdot 0}}$

Etapa 4.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{1}{\sqrt{16 + 5 \cdot 0}})$

Etapa 4.5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.5.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$4 (- \frac{1}{\sqrt{16 + 0}})$

Etapa 4.5.2.2

Some $16$ e $0$ .

$4 (- \frac{1}{\sqrt{16}})$

Etapa 4.5.2.3

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$4 (- \frac{1}{\sqrt{4^{2}}})$

Etapa 4.5.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 (- \frac{1}{4})$

Etapa 4.5.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$4 (\frac{- 1}{4})$

Etapa 4.5.3.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{- 1}{4})$

Etapa 4.5.3.3

Reescreva a expressão.

$- 1$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 1, - 1$

Etapa 6

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 1, - 1$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 8