Cálculo Exemplos

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$27 - x^{3} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $27 - x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$- x^{3} = - 27$

Etapa 1.2.2

Some $27$ aos dois lados da equação.

$- x^{3} + 27 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{3} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 27 = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Reescreva $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ .

$- (x^{3} - 27) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Etapa 1.2.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 1.2.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Etapa 1.2.3.4.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Etapa 1.2.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.6

Defina $x^{2} + 3 x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x^{2} + 3 x + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Etapa 1.2.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Etapa 1.2.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4.5

Fatore $- 1$ de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.6.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.3

Substitua $3$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2

Reordene $27$ e $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 27$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $1$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $0$ de $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Etapa 4.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Etapa 4.7

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

Etapa 4.8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $3$ e em $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

Etapa 4.8.2

Avalie $27 x$ em $3$ e em $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.4

Subtraia $1$ de $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.5

Cancele o fator comum de $80$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.5.1

Fatore $4$ de $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.5.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.5.2.4

Divida $20$ por $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.6

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.7

Multiplique $27$ por $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

Etapa 4.8.3.8

Multiplique $- 27$ por $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

Etapa 4.8.3.9

Subtraia $27$ de $81$ .

$- 20 + 54$

Etapa 4.8.3.10

Some $- 20$ e $54$ .

$34$

Etapa 5