Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[6]{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[6]{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{5}{6}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} u^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $6$ de $5$ .

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{6} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{5}{6}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}$ .

$\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{6}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x + 0)$

Etapa 1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} (2 x)$

Etapa 1.11.2

Combine $2$ e $\frac{5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} x$

Etapa 1.11.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}} x$

Etapa 1.11.4

Combine $\frac{10}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ e $x$ .

$\frac{10 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Etapa 1.11.5

Fatore $2$ de $10 x$ .

$\frac{2 (5 x)}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Etapa 1.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.12.1

Fatore $2$ de $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{2 (5 x)}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}$

Etapa 1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 x)}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}$

Etapa 1.12.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{5 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{5}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2 (3)} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ por $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{6}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.8.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.9

Combine frações.

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Etapa 2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.9.2

Combine $\frac{1}{6}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.9.3

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{6}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - x (\frac{1}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.9.4

Combine $\frac{1}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ e $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.13

Combine frações.

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Etapa 2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - 2 \frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.13.4

Combine $\frac{- 2 x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ e $x$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x \cdot x}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.17

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- 2 x^{2}}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.18

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.19.1

Fatore $2$ de $6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} + \frac{- x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.21

Para escrever ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.22

Combine ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ e $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.24

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.24.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.24.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.24.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 + 1}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.24.4

Some $5$ e $1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6}{6}} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.24.5

Divida $6$ por $6$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.25

Simplifique ${(x^{2} + 1)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.26

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.27

Reescreva $\frac{\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ como um produto.

$\frac{5}{3} (\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.28

Multiplique $\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.29

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.29.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{6}})}$

Etapa 2.29.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}$

Etapa 2.29.3

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}$

Etapa 2.29.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.29.4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}$

Etapa 2.29.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{6} + \frac{5}{6}}}$

Etapa 2.29.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 5}{6}}}$

Etapa 2.29.6

Some $2$ e $5$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.30

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{3 (x^{2} + 1) - x^{2}}{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{5 (3 (x^{2} + 1) - x^{2})}{3 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}})}$

Etapa 2.31

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{5 (3 (x^{2} + 1) - x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32

Simplifique.

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Etapa 2.32.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (3 x^{2} + 3 \cdot 1 - x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (3 x^{2}) + 5 (3 \cdot 1) + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.32.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.32.3.1.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 (3 \cdot 1) + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.3.1.2

Multiplique $5 (3 \cdot 1)$ .

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Etapa 2.32.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{15 x^{2} + 5 \cdot 3 + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.3.1.2.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 + 5 (- x^{2})}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 15 - 5 x^{2}}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.3.2

Subtraia $5 x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 15}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.4

Fatore $5$ de $10 x^{2} + 15$ .

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Etapa 2.32.4.1

Fatore $5$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{5 (2 x^{2}) + 15}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.4.2

Fatore $5$ de $15$ .

$\frac{5 (2 x^{2}) + 5 (3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 2.32.4.3

Fatore $5$ de $5 (2 x^{2}) + 5 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{5 (2 x^{2} + 3)}{9 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{6}}}$