Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} (x^{2} - 16 x + 8)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 16 x + 8$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 8] + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} (2 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$x^{3} (2 x - 16 + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.6

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{3} (2 x - 16 + 0) + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.7

Some $2 x - 16$ e $0$ .

$x^{3} (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x + 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x + 8) (3 x^{2})$

Etapa 1.2.9

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 16 x + 8$ .

$x^{3} (2 x - 16) + 3 \cdot (x^{2} - 16 x + 8) x^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 16 + 3 (x^{2} - 16 x + 8) x^{2}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 16 + (3 x^{2} + 3 (- 16 x) + 3 \cdot 8) x^{2}$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 16 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4

Combine os termos.

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Etapa 1.3.4.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.1.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 16 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 1.3.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 16 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 16 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.1.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 16 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 16 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.3

Mova $- 16$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$2 x^{4} - 16 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.4.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.4.3

Some $2$ e $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 16 x) x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.6.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{4} - 48 (x^{2} x) + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.3.4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{4} - 48 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x^{2 + 1} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.6.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 3 \cdot 8 x^{2}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $3$ por $8$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 3 x^{4} - 48 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 1.3.4.8

Some $2 x^{4}$ e $3 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 16 x^{3} - 48 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 1.3.4.9

Subtraia $48 x^{3}$ de $- 16 x^{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 64 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 64 x^{3} + 24 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} - 64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 x^{3} - 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 64$ .

$20 x^{3} - 192 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 192 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 x^{3} - 192 x^{2} + 24 (2 x)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 192 x^{2} + 48 x$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 x^{3} - 192 x^{2} + 48 x$ .

$20 x^{3} - 192 x^{2} + 48 x$