Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \sin (2 x) + 5$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (2 x) + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $1 + 2 \cos (2 x)$ e $0$ .

$f' (x) = 1 + 2 \cos (2 x)$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 1.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$0 + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 1.2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 1.2.2.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$0 - 4 \sin (2 x)$

Etapa 1.2.3

Subtraia $4 \sin (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \sin (2 x)$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 4 \sin (2 x) = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- 4 \sin (2 x) = 0$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- 4 \sin (2 x) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $- 4$ .

$\sin (2 x) = 0$

Etapa 2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 2.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - 0$

Etapa 2.7

Resolva $x$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Etapa 2.7.1.2

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 2.7.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.7.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.8

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.9

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O ponto encontrado ao substituir em $f (x) = x + \sin (2 x) + 5$ é $(,)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(,)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty,)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 4 \sin (- 0.2)$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 4 \sin (- 0.2)$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.79467732$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty,)$ .

Acréscimo em $(- \infty,)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = - 4 \sin (2 (0.1))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 4 \sin (0.2)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $- 4 \sin (0.2)$ .

$- 4 \sin (0.2)$

Etapa 6.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $- 0.79467732$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(, \infty)$ .

Decréscimo em $(, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(,)$ .

$(,)$

Etapa 8