Cálculo Exemplos

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$h (x)$ é contínuo em $[0, π]$ .

$h (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $h$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Etapa 5

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Etapa 6

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 6.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Etapa 6.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 6.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{u^{5}}{5}$ em $- 1$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Etapa 11.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Etapa 11.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Etapa 11.2.4

Subtraia $\frac{1}{5}$ de $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Etapa 11.2.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Etapa 11.2.7

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Etapa 11.2.8

Combine $6$ e $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Etapa 11.2.9

Multiplique $6$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Etapa 12.2

Some $π$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Etapa 13

Combine frações.

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Etapa 13.1

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Etapa 13.2

Mova $5$ para a esquerda de $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Etapa 14