Cálculo Exemplos

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $g (t)$ é contínuo em $[2, 5]$ ou não, encontre o domínio de $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{5 + t^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5 + t^{2} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $t$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da desigualdade.

$t^{2} \geq - 5$

Etapa 1.2.2

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 1.3

Defina o denominador em $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Etapa 1.4

Resolva $t$ .

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Etapa 1.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 + t^{2}}$ como ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Simplifique.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Etapa 1.4.3

Resolva $t$ .

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Etapa 1.4.3.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$t^{2} = - 5$

Etapa 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Etapa 1.4.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Etapa 1.4.3.3.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Etapa 1.4.3.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Etapa 1.4.3.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Etapa 1.4.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.4.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = i \sqrt{5}$

Etapa 1.4.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - i \sqrt{5}$

Etapa 1.4.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Etapa 1.5

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${t | t \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${t | t \in ℝ}$

Etapa 2

$g (t)$ é contínuo em $[2, 5]$ .

$g (t)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $g$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Etapa 5

Deixe $u = 5 + t^{2}$ . Depois, $d u = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 5 + t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.1.3

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $2 t$ .

$2 t$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Etapa 5.3.2

Some $5$ e $4$ .

$u_{lower} = 9$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Etapa 5.5.2

Some $5$ e $25$ .

$u_{upper} = 30$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Etapa 8.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Etapa 8.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Etapa 8.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $30$ e em $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 10.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Etapa 10.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Etapa 10.2.4

Avalie o expoente.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Etapa 10.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Etapa 11.3.3

Reescreva a expressão.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Etapa 12

Subtraia $2$ de $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{3}$ e $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Etapa 15.3

Reescreva a expressão.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Etapa 16