Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} = {(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2}$ , $(0, 0.25)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 0.25$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{2} + 4 y^{2} - x)}^{2})$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 1.2.3

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 y^{2} - x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie.

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Etapa 1.3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 4 y^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1 \cdot 1)$

Etapa 1.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (2 x^{2} + 4 y^{2} - x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (2 x^{2}) + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Etapa 1.3.9.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.9.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 2 (4 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Etapa 1.3.9.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} + 2 (- x)) (4 x + 8 y y' - 1)$

Etapa 1.3.9.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$

Etapa 1.3.9.3

Reordene os fatores de $(4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x) (4 x + 8 y y' - 1)$ .

$(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Simplifique $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ .

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Etapa 1.5.1.1

Reescreva.

$2 y y' + 2 x = 0 + 0 + (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Etapa 1.5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$2 y y' + 2 x = (4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$

Etapa 1.5.1.3

Expanda $(4 x + 8 y y' - 1) (4 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 y y' + 2 x = 4 x (4 x^{2}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.5.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.4.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.1.4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{2 + 1} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 y y' + 2 x = 4 \cdot 4 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 x (8 y^{2}) + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 4 \cdot 8 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.5

Multiplique $4$ por $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 x (- 2 x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.4.1.7.1

Mova $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 (x \cdot x) + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} + 4 \cdot - 2 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.8

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 8 y y' (4 x^{2}) + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.9

Multiplique $4$ por $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y y' (8 y^{2}) + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.10

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1.4.1.10.1

Mova $y^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.10.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 1.5.1.4.1.10.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{2 + 1} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.10.3

Some $2$ e $1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' \cdot 8 + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.11

Multiplique $8$ por $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' + 8 y y' (- 2 x) - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.12

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 1 (4 x^{2}) - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 1 (8 y^{2}) - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.14

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} - 1 (- 2 x)$

Etapa 1.5.1.4.1.15

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 8 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 4 x^{2} - 8 y^{2} + 2 x$

Etapa 1.5.1.4.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$2 y y' + 2 x = 16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x$

Etapa 1.5.2

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x = 2 y y' + 2 x$

Etapa 1.5.3

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$16 x^{3} + 32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x$

Etapa 1.5.4

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.4.1

Subtraia $16 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$32 x y^{2} - 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3}$

Etapa 1.5.4.2

Subtraia $32 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 12 x^{2} + 32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2}$

Etapa 1.5.4.3

Some $12 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 8 y^{2} + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2}$

Etapa 1.5.4.4

Some $8 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x + 2 x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.4.5

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = 2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$

Etapa 1.5.4.6

Combine os termos opostos em $2 x - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} - 2 x$ .

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Etapa 1.5.4.6.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2} + 0$

Etapa 1.5.4.6.2

Some $- 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ e $0$ .

$32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.5

Fatore $2 y y'$ de $32 y y' x^{2} + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y'$ .

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Etapa 1.5.5.1

Fatore $2 y y'$ de $32 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 64 y^{3} y' - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.5.2

Fatore $2 y y'$ de $64 y^{3} y'$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) - 16 y y' x - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.5.3

Fatore $2 y y'$ de $- 16 y y' x$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) - 2 y y' = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.5.4

Fatore $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.5.5

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (16 x^{2}) + 2 y y' (32 y^{2})$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.5.6

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2}) + 2 y y' (- 8 x)$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.5.7

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$

Etapa 1.5.6

Divida cada termo em $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ por $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Divida cada termo em $2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) = - 16 x^{3} - 32 x y^{2} + 12 x^{2} + 8 y^{2}$ por $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$\frac{2 y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.2.3

Cancele o fator comum de $16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.2.3.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 16 x^{3}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 16 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 8 x^{3})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 32 x y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 32$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 32 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (- 16 x y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.4.1

Fatore $y$ de $- 16 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (- 16 x y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.3.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{- 16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{12 x^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.6

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.6.1

Fatore $2$ de $12 x^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.6.2.1

Fatore $2$ de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{2 (6 x^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.3.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{8 y^{2}}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.7

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.7.1

Fatore $2$ de $8 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.7.2.1

Fatore $2$ de $2 y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{2 (4 y^{2})}{2 (y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1))}$

Etapa 1.5.6.3.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.3.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.8

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.8.1

Fatore $y$ de $4 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{y (4 y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.6.3.1.8.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.2

Para escrever $- \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.6.3.3.1

Multiplique $\frac{16 x y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.3.2

Reordene os fatores de $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ .

$y' = - \frac{8 x^{3}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} - \frac{16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.6.3.5.1

Fatore $8 x$ de $- 8 x^{3} - 16 x y \cdot y$ .

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Etapa 1.5.6.3.5.1.1

Fatore $8 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) - 16 x y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.5.1.2

Fatore $8 x$ de $- 16 x y \cdot y$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.5.1.3

Fatore $8 x$ de $8 x (- x^{2}) + 8 x (- 2 y \cdot y)$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.5.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.5.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.5.2.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 (y^{1} y^{1}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{1 + 1})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.7.1

Fatore $2 x$ de $8 x (- x^{2} - 2 y^{2}) + 6 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.7.1.1

Fatore $2 x$ de $8 x (- x^{2} - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 6 x^{2}}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.7.1.2

Fatore $2 x$ de $6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.7.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2})) + 2 x (3 x)$ .

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2} - 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{2 x (4 (- x^{2}) + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} + 4 (- 2 y^{2}) + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.7.4

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$

Etapa 1.5.6.3.8

Para escrever $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 1.5.6.3.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.6.3.9.1

Multiplique $\frac{4 y}{16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y}$

Etapa 1.5.6.3.9.2

Reordene os fatores de $(16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1) y$ .

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)} + \frac{4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.6.3.11.1

Fatore $2$ de $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 4 y \cdot y$ .

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Etapa 1.5.6.3.11.1.1

Fatore $2$ de $2 x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 4 y \cdot y}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.1.2

Fatore $2$ de $4 y \cdot y$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.1.3

Fatore $2$ de $2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x)) + 2 (2 y \cdot y)$ .

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2} - 8 y^{2} + 3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{2 (x (- 4 x^{2}) + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.3

Simplifique.

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Etapa 1.5.6.3.11.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} + x (- 8 y^{2}) + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + x (3 x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{2 (- 4 x \cdot x^{2} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.6.3.11.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.6.3.11.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.5.6.3.11.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 (x^{2} x^{1}) - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{2 (- 4 x^{2 + 1} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.4.1.3

Some $2$ e $1$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x \cdot x + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.6.3.11.4.2.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 (x \cdot x) + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y \cdot y)}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.6.3.11.5.1

Mova $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 (y \cdot y))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.11.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x^{3} - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.5.6.3.12.1

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - 8 x y^{2} + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.2

Fatore $- 1$ de $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3}) - (8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.3

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{3}) - (8 x y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) + 3 x^{2} + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.4

Fatore $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.5

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{3} + 8 x y^{2}) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.6

Fatore $- 1$ de $2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.7

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2}) - (- 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.6.3.12.8.1

Reescreva $- (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ como $- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2}))}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.5.6.3.12.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (4 x^{3} + 8 x y^{2} - 3 x^{2} - 2 y^{2})}{y (16 x^{2} + 32 y^{2} - 8 x - 1)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 0$ e $y = 0.25$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot y^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 y^{2})}{y (16 {(0)}^{2} + 32 y^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $0.25$ na expressão.

$- \frac{2 (4 {(0)}^{3} + 8 (0) \cdot {(0.25)}^{2} - 3 {(0)}^{2} - 2 {(0.25)}^{2})}{(0.25) (16 {(0)}^{2} + 32 {(0.25)}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2 (4 \cdot 0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{2 (0 + 8 (0) \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.3

Multiplique $8$ por $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot {0.25}^{2} - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.4

Eleve $0.25$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 \cdot 0.0625 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.5

Multiplique $0$ por $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 3 \cdot 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.7

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot {0.25}^{2})}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.8

Eleve $0.25$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 2 \cdot 0.0625)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.9

Multiplique $- 2$ por $0.0625$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.10

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.11

Some $0$ e $0$ .

$- \frac{2 (0 - 0.125)}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.3.12

Subtraia $0.125$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25 (16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1)}$

Etapa 1.7.4

Simplifique multiplicando os termos.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $0.25$ por $16 \cdot 0^{2} + 32 \cdot {0.25}^{2} - 8 \cdot 0 - 1$ .

$- \frac{2 \cdot - 0.125}{0.25}$

Etapa 1.7.4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.125$ .

$- \frac{- 0.25}{0.25}$

Etapa 1.7.4.2.2

Divida $- 0.25$ por $0.25$ .

$- - 1$

Etapa 1.7.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(0, 0.25)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0.25) = 1 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 0.25 = 1 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $1 \cdot (x + 0)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x + 0$ por $1$ .

$y - 0.25 = x + 0$

Etapa 2.3.1.2

Some $x$ e $0$ .

$y - 0.25 = x$

Etapa 2.3.2

Some $0.25$ aos dois lados da equação.

$y = x + 0.25$

Etapa 3