Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 2$ e $y = - \frac{1}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.2.3

Mova $4$ para a esquerda de ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{2} - 6$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.4.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $4$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.8.1.1

Fatore $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

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Etapa 1.8.1.1.1

Fatore $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.1.2

Fatore $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.1.3

Fatore $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.4

Subtraia $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.5

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} - 12$ .

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Etapa 1.8.1.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.5.2

Fatore $3$ de $- 12$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.5.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.1.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.2

Cancele o fator comum de ${(x^{2} - 6)}^{4}$ e ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

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Etapa 1.8.2.1

Fatore ${(x^{2} - 6)}^{4}$ de $6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Etapa 1.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.8.2.2.1

Fatore ${(x^{2} - 6)}^{4}$ de ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.8.3

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.8.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.8.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.8.6

Reescreva $- (x^{2} + 4)$ como $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.8.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.9

Avalie a derivada em $x = - 2$ .

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.10.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.10.1.2

Some $4$ e $4$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.10.1.3

Multiplique $8$ por $6$ .

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.10.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.10.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

Etapa 1.10.2.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

Etapa 1.10.2.3

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

Etapa 1.10.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.10.3.1

Multiplique $48$ por $- 8$ .

$- \frac{- 384}{64}$

Etapa 1.10.3.2

Divida $- 384$ por $64$ .

$- - 6$

Etapa 1.10.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$6$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $6$ e um ponto determinado $(- 2, - \frac{1}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $6 \cdot (x + 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $12$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $1$ de $24$ .

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

Etapa 3