Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{6}$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 + \csc (x)$ e $g (x) = 8 - \csc (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + \csc (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - \csc (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \csc (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.4.5

Multiplique.

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Etapa 1.4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.4.5.2

Multiplique $4 + \csc (x)$ por $1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.5

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2

Multiplique $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

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Etapa 1.6.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2.2

Multiplique $\csc (x)$ por $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2.3

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2.4

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.5

Multiplique $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Etapa 1.6.3.1.5.1

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.5.2

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.2

Combine os termos opostos em $- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Etapa 1.6.3.2.1

Subtraia $\csc^{2} (x) \cot (x)$ de $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.2.2

Some $- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ e $0$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.3.3

Subtraia $4 \csc (x) \cot (x)$ de $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Etapa 1.7

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{6}$ .

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.8.1.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{6})$ é $2$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Etapa 1.8.1.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{6})$ é $\sqrt{3}$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Etapa 1.8.1.3

Multiplique $12$ por $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Etapa 1.8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.2.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{6})$ é $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

Etapa 1.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

Etapa 1.8.2.3

Subtraia $2$ de $8$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

Etapa 1.8.2.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

Etapa 1.8.3

Cancele o fator comum de $24$ e $36$ .

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Etapa 1.8.3.1

Fatore $12$ de $24 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

Etapa 1.8.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.8.3.2.1

Fatore $12$ de $36$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

Etapa 1.8.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

Etapa 1.8.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e um ponto determinado $(\frac{π}{6}, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Fatore $2$ de $6$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Cancele o fator comum.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.1.2.3.6

Reescreva a expressão.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Etapa 2.3.1.2.4

Multiplique $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{- π}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.1.2.5

Multiplique.

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Etapa 2.3.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.1.2.5.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.1.2.5.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Etapa 2.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

Etapa 2.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Etapa 2.3.3.3

Reordene os termos.

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Etapa 2.3.3.4

Remova os parênteses.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Etapa 3