Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5 x + 6}{x - 1}$ , $(2, 16)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 16$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x + 6$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 6] - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]) - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (5 + \frac{d}{d x} [6]) - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) (5 + 0) - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 5 - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $x - 1$ .

$\frac{5 \cdot (x - 1) - (5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5 (x - 1) - (5 x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 (x - 1) - (5 x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5 (x - 1) - (5 x + 6) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{5 (x - 1) - (5 x + 6) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 (x - 1) - (5 x + 6)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x + 5 \cdot - 1 - (5 x + 6)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x + 5 \cdot - 1 - (5 x) - 1 \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 5 - (5 x) - 1 \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x - 5 - 5 x - 1 \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{5 x - 5 - 5 x - 6}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os termos opostos em $5 x - 5 - 5 x - 6$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{0 - 5 - 6}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$\frac{- 5 - 6}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Subtraia $6$ de $- 5$ .

$\frac{- 11}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$- \frac{11}{{((2) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$- \frac{11}{1^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{11}{1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.2.1

Divida $11$ por $1$ .

$- 1 \cdot 11$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$- 11$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 11$ e um ponto determinado $(2, 16)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = - 11 \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 16 = - 11 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 11 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 16 = 0 + 0 - 11 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 16 = - 11 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 16 = - 11 x - 11 \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 11$ por $- 2$ .

$y - 16 = - 11 x + 22$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$y = - 11 x + 22 + 16$

Etapa 2.3.2.2

Some $22$ e $16$ .

$y = - 11 x + 38$

Etapa 3