Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ , $(4, \frac{3}{16})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \frac{3}{16}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ como ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{- 2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 3 x$ .

$3 (- 2 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 ({(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \cdot 1)$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Etapa 1.4.3

Reordene os fatores de $- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Etapa 1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Etapa 1.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Etapa 1.4.6

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Etapa 1.4.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.7.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 1.4.7.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x - 3 x)}^{3}}$

Etapa 1.4.7.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x + x \cdot - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.7.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x (x - 3))}^{3}}$

Etapa 1.4.7.2

Aplique a regra do produto a $x (x - 3)$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.8

Multiplique $- 2 x + 3$ por $\frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.9

Mova $6$ para a esquerda de $- 2 x + 3$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.10

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{6 (- (2 x) + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.11

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.12

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.13

Reescreva $- (2 x - 3)$ como $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.4.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 (2 x - 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$- \frac{6 (2 (4) - 3)}{{(4)}^{3} {((4) - 3)}^{3}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{6 (8 - 3)}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Etapa 1.6.1.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.2.1

Subtraia $3$ de $4$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} \cdot 1^{3}}$

Etapa 1.6.2.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1^{3}}$

Etapa 1.6.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique $6$ por $5$ .

$- \frac{30}{64 \cdot 1}$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $64$ por $1$ .

$- \frac{30}{64}$

Etapa 1.6.3.3

Cancele o fator comum de $30$ e $64$ .

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Etapa 1.6.3.3.1

Fatore $2$ de $30$ .

$- \frac{2 (15)}{64}$

Etapa 1.6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.3.3.2.1

Fatore $2$ de $64$ .

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Etapa 1.6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Etapa 1.6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{15}{32}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{15}{32}$ e um ponto determinado $(4, \frac{3}{16})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3}{16}) = - \frac{15}{32} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{3}{16} = 0 + 0 - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} x - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{15}{32}$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{15}{32}$ para o numerador.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{32} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $4$ de $32$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 (8)} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Cancele o fator comum.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Reescreva a expressão.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{8} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2.4

Combine $\frac{- 15}{8}$ e $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15 \cdot - 1}{8}$

Etapa 2.3.1.2.5

Multiplique $- 15$ por $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{15}{8}$

Etapa 2.3.1.3

Mova $15$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{3}{16}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} + \frac{3}{16}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{15}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{16}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{15}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{16} + \frac{3}{16}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2 + 3}{16}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $15$ por $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{30 + 3}{16}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $30$ e $3$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{33}{16}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{15}{32} x) + \frac{33}{16}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{15}{32} x + \frac{33}{16}$

Etapa 3