Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ como ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (- {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$- 32 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.1.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.1.3.7

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Etapa 1.1.3.8

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1.1

Combine $- 32$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Etapa 1.1.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Etapa 1.1.5.2

Reordene os fatores de $- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 6 = 0$

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Etapa 2.3

Defina $2 x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $2 x - 6$ como igual a $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $2 x - 6 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$2 x = 6$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.3.1

Divida $6$ por $2$ .

$x = 3$

Etapa 2.4

Defina $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ como igual a $0$ .

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$32 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Como $32 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ verdadeiro.

$x = 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 7$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 7, 1$

Etapa 3.2.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

${((x - 7) (x + 1))}^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a regra do produto a $(x - 7) (x + 1)$ .

${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.3

Defina ${(x - 7)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Defina ${(x - 7)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.3.2

Resolva ${(x - 7)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 3.2.3.2.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 3.2.4

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.4.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.4.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.2.4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 1$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 7$

Etapa 4

Avalie $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{32}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 7}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{32}{9 - 6 \cdot 3 - 7}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$\frac{32}{9 - 18 - 7}$

Etapa 4.1.2.1.3

Subtraia $18$ de $9$ .

$\frac{32}{- 9 - 7}$

Etapa 4.1.2.1.4

Subtraia $7$ de $- 9$ .

$\frac{32}{- 16}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $32$ por $- 16$ .

$- 2$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{32}{{(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 7}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{32}{1 - 6 \cdot - 1 - 7}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{32}{1 + 6 - 7}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Some $1$ e $6$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $7$ de $7$ .

$\frac{32}{0}$

Etapa 4.2.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{32}{0}$

Etapa 4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Avalie em $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $7$ por $x$ .

$\frac{32}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 7}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{32}{49 - 6 \cdot 7 - 7}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $7$ .

$\frac{32}{49 - 42 - 7}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $42$ de $49$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Etapa 4.3.2.2.2

Subtraia $7$ de $7$ .

$\frac{32}{0}$

Etapa 4.3.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{32}{0}$

Etapa 4.3.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(3, - 2)$

Etapa 5