Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{120}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{120}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{120}{x}$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x + 120 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $120$ .

$2 x - 120 x^{- 2}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 120 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Combine $- 120$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 120}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{120}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{120}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{120}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{120}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{120}{x^{2}}$ para o numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{3} - 120 = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 120 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $120$ aos dois lados da equação.

$2 x^{3} = 120$

Etapa 2.4.2

Subtraia $120$ dos dois lados da equação.

$2 x^{3} - 120 = 0$

Etapa 2.4.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 120$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 120 = 0$

Etapa 2.4.3.2

Fatore $2$ de $- 120$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 60 = 0$

Etapa 2.4.3.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 60$ .

$2 (x^{3} - 60) = 0$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 60) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 60) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{3} - 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.4.2.1.2

Divida $x^{3} - 60$ por $1$ .

$x^{3} - 60 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{3} - 60 = 0$

Etapa 2.4.5

Some $60$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 60$

Etapa 2.4.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{60}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{120}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $x^{2} + \frac{120}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \sqrt[3]{60}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\sqrt[3]{60}$ por $x$ .

${(\sqrt[3]{60})}^{2} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Reescreva ${\sqrt[3]{60}}^{2}$ como $\sqrt[3]{60^{2}}$ .

$\sqrt[3]{60^{2}} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $60$ à potência de $2$ .

$\sqrt[3]{3600} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Reescreva $3600$ como $2^{3} \cdot 450$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Fatore $8$ de $3600$ .

$\sqrt[3]{8 (450)} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Etapa 4.1.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}}$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120}{\sqrt[3]{60}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.6.1

Multiplique $\frac{120}{\sqrt[3]{60}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{\sqrt[3]{60} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Eleve $\sqrt[3]{60}$ à potência de $1$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1} {\sqrt[3]{60}}^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{1 + 2}}$

Etapa 4.1.2.1.6.4

Some $1$ e $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{\sqrt[3]{60}}^{3}}$

Etapa 4.1.2.1.6.5

Reescreva ${\sqrt[3]{60}}^{3}$ como $60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.6.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{60}$ como $60^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{{(60^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 4.1.2.1.6.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 4.1.2.1.6.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 4.1.2.1.6.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.6.5.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 4.1.2.1.6.5.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60^{1}}$

Etapa 4.1.2.1.6.5.5

Avalie o expoente.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{120 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{60}$

Etapa 4.1.2.1.7

Cancele o fator comum de $120$ e $60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.1

Fatore $60$ de $120 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60}$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.2.1

Fatore $60$ de $60$ .

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 (1)}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{60 (2 {\sqrt[3]{60}}^{2})}{60 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \sqrt[3]{450} + \frac{2 {\sqrt[3]{60}}^{2}}{1}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.4

Divida $2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$ por $1$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 {\sqrt[3]{60}}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.8

Reescreva ${\sqrt[3]{60}}^{2}$ como $\sqrt[3]{60^{2}}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{60^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.9

Eleve $60$ à potência de $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{3600}$

Etapa 4.1.2.1.10

Reescreva $3600$ como $2^{3} \cdot 450$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.10.1

Fatore $8$ de $3600$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{8 (450)}$

Etapa 4.1.2.1.10.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 2 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 450}$

Etapa 4.1.2.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt[3]{450} + 2 (2 \sqrt[3]{450})$

Etapa 4.1.2.1.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \sqrt[3]{450} + 4 \sqrt[3]{450}$

Etapa 4.1.2.2

Some $2 \sqrt[3]{450}$ e $4 \sqrt[3]{450}$ .

$6 \sqrt[3]{450}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{120}{0}$

Etapa 4.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\sqrt[3]{60}, 6 \sqrt[3]{450})$

Etapa 5