Cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}} d x$

Etapa 4

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3} d x$

Etapa 6

Expanda $(3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 3 x^{2} x^{- 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 x^{2 - 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.4

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 (x^{1} x^{- 3}) + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{1 - 3} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 6.7

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Etapa 8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Etapa 9

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int 3 x^{- 3} d x$

Etapa 12

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 14.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Etapa 14.2

Simplifique.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Etapa 14.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 14.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Etapa 14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$