Cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Etapa 4

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (x)$ em $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 5

Use a fórmula de Pitágoras para transformar $1$ em $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Subtraia ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ de ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Etapa 6.2

Some ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ e ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Etapa 6.3

Some $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ e $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 7

Multiplique o argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 8

Combine.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 9

Multiplique ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 10

Reescreva $\sec (\frac{x}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Etapa 11

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ de $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Etapa 11.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Etapa 11.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 13

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 13.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 13.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Etapa 14.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Etapa 14.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Etapa 15

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 16.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 16.3

Multiplique $\int \sec^{2} (u) d u$ por $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 17

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Etapa 18

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 20

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (\frac{1}{2} x) + C$