Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.1.2

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

Etapa 5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

Etapa 5.3.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

Etapa 5.3.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Etapa 5.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

Etapa 5.3.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

Etapa 6

Expanda $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Etapa 6.2

Reordene $x^{\frac{3}{2}}$ e $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.7

Some $3$ e $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6.8

Reordene $x^{\frac{5}{2}}$ e $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{5}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Etapa 11.3

Reordene os termos.

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$