Cálculo Exemplos

$5 \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $5 \sin^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = 5 \sin^{2} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 5 \sin^{2} (x) d x$

Etapa 4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \sin^{2} (x) d x$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$5 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{5}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{5}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{5}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{5}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 11

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{5}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 12

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{5}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 14

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{5}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{5}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{5}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{2} x + \frac{5}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 17.3

Combine $\frac{5}{2}$ e $x$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 17.4

Multiplique $\frac{5}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Etapa 17.4.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{5 x}{2} - \frac{5 \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 17.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5 x}{2} - \frac{5 \sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 18

Reordene os termos.

$\frac{5}{2} x - \frac{5}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 19

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 5 \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{2} x - \frac{5}{4} \sin (2 x) + C$