Cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $\tan (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2.2

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5.2.5

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 6

Eleve $\csc (t)$ à potência de $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 10

A integral de $\csc (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 11

Aplique a identidade recíproca a $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Etapa 12

Escreva $\tan (t)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Etapa 13.2

Combine.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de ${\sin (t)}^{2}$ e $\sin (t)$ .

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Etapa 13.3.1

Fatore $\sin (t)$ de $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Etapa 13.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.3.2.1

Fatore $\sin (t)$ de $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Etapa 13.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Etapa 13.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Etapa 13.4

Multiplique $\sin (t)$ por $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 14

Multiplique por $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 15

Fatore $\cos (t)$ de $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Etapa 16

Separe as frações.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Etapa 17

Converta de $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ em $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Etapa 18

Converta de $\frac{1}{\cos (t)}$ em $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 19

Como a derivada de $\sec (t)$ é $\tan (t) \sec (t)$ , a integral de $\tan (t) \sec (t)$ é $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Etapa 20

Simplifique.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Etapa 21

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

Etapa 22

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$