Cálculo Exemplos

$\sqrt{2 - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{2 - x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{2 - x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a regra do produto a $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.2

Multiplique por $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.3

Fatore ${\sqrt{2}}^{2}$ de $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.4

Fatore ${\sqrt{2}}^{2}$ de ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6.5

Avalie o expoente.

$\int \sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{2 \cos^{2} (t)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.7

Reordene $2$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \cos (t) \sqrt{2} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Etapa 5.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Etapa 5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{2} \sqrt{2} d t$

Etapa 5.2.5

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) d t$

Etapa 5.2.6

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) d t$

Etapa 5.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{1 + 1} d t$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{2}}^{2} d t$

Etapa 5.2.9

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.2.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Etapa 5.2.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Etapa 5.2.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Etapa 5.2.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.9.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{\frac{2}{2}} d t$

Etapa 5.2.9.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2^{1} d t$

Etapa 5.2.9.5

Avalie o expoente.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 2 d t$

Etapa 5.2.10

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{2} (t)$ .

$\int 2 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 7

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 9.3

Multiplique $\int 1 + \cos (2 t) d t$ por $1$ .

$\int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d t + \int \cos (2 t) d t$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$t + C + \int \cos (2 t) d t$

Etapa 12

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 13

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Etapa 15

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Etapa 16

Simplifique.

$t + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + C$

Etapa 17.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 18.2.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.2.6.5

Avalie o expoente.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.3

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})) + C$

Etapa 18.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})) + C$

Etapa 18.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})) + C$

Etapa 18.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})) + C$

Etapa 18.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})) + C$

Etapa 18.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})) + C$

Etapa 18.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Etapa 18.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})) + C$

Etapa 18.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})) + C$

Etapa 18.4.6.5

Avalie o expoente.

$\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})) + C$

Etapa 18.5

Reordene os termos.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$

Etapa 19

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2} x)) + C$