Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\tan^{2} (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\tan^{2} (x)} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} d x$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} d x$

Etapa 4.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Etapa 4.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Etapa 4.5

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\int \cot^{2} (x) d x$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Etapa 8

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$- x + C - \cot (x) + C$

Etapa 9

Simplifique.

$- x - \cot (x) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x - \cot (x) + C$