Cálculo Exemplos

$\frac{20}{6 + 2 t}$

Etapa 1

Escreva $\frac{20}{6 + 2 t}$ como uma função.

$f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (t)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (t) = \int \frac{20}{6 + 2 t} d t$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $20$ e $6 + 2 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $2$ de $20$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{6 + 2 t} d t$

Etapa 4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 t} d t$

Etapa 4.2.2

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3) + 2 (t)} d t$

Etapa 4.2.3

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (t)$ .

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \cdot 10}{2 (3 + t)} d t$

Etapa 4.2.5

Reescreva a expressão.

$\int \frac{10}{3 + t} d t$

Etapa 5

Como $10$ é constante com relação a $t$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int \frac{1}{3 + t} d t$

Etapa 6

Deixe $u = 3 + t$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u = 3 + t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $3 + t$ .

$\frac{d}{d t} [3 + t]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.1.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 6.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$10 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$10 \ln (| u |) + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + t$ .

$10 \ln (| 3 + t |) + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (t) = \frac{20}{6 + 2 t}$ .

$F (t) =$ $10 \ln (| 3 + t |) + C$