Cálculo Exemplos

$\frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$ como uma função.

$f (t) = \frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (t)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (t) = \int \frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}} d t$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{5}{t}}}{t^{2}} d t$

Etapa 5

Deixe $u = \frac{5}{t}$ . Depois, $d u = - \frac{5}{t^{2}} d t$ , então, $1 d u = - \frac{5}{t^{2}} d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = \frac{5}{t}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\frac{5}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t}]$

Etapa 5.1.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{5}{t}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Etapa 5.1.3

Reescreva $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- t^{- 2})$

Etapa 5.1.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 t^{- 2}$

Etapa 5.1.6

Simplifique.

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Etapa 5.1.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{t^{2}}$

Etapa 5.1.6.2

Combine os termos.

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Etapa 5.1.6.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\frac{- 5}{t^{2}}$

Etapa 5.1.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{t^{2}}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{5} e^{u} d u$

Etapa 6

Como $- \frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $- \frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{1}{15} \int e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{15} (e^{u} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$- \frac{1}{15} e^{u} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{5}{t}$ .

$- \frac{1}{15} e^{\frac{5}{t}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (t) = \frac{e^{\frac{5}{t}}}{3 t^{2}}$ .

$F (t) =$ $- \frac{1}{15} e^{\frac{5}{t}} + C$