Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + 3 x = 5$ , $(- 1, 5)$

Etapa 1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 5]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Verifique se $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ é diferenciável.

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Etapa 3.1

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 3 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 + 0$

Etapa 3.1.1.4.2

Some $4 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3$

Etapa 3.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x + 3$ .

$4 x + 3$

Etapa 3.2

Determine se a derivada é contínua em $[- 1, 5]$ .

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Etapa 3.2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[- 1, 5]$ .

A função é contínua.

Etapa 3.3

A função é diferenciável em $[- 1, 5]$ , porque a derivada é contínua em $[- 1, 5]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 4

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[- 1, 5]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[- 1, 5]$ .

Etapa 5

Encontre a derivada de $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 5$ .

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 3 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 5.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 5.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 5.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 5.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 5.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 + 0$

Etapa 5.4.2

Some $4 x + 3$ e $0$ .

$4 x + 3$

Etapa 6

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 1}^{5} \sqrt{1 + {(4 x + 3)}^{2}} d x$

Etapa 7

Avalie a integral.

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Etapa 7.1

Complete o quadrado.

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Etapa 7.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (8 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 \cdot 5$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique.

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Etapa 7.1.1.2.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$16 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 5$

Etapa 7.1.1.2.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$16 x^{2} + 24 x + 2 \cdot 5$

Etapa 7.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$16 x^{2} + 24 x + 10$

Etapa 7.1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = 24$

$c = 10$

Etapa 7.1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 7.1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 7.1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 16}$

Etapa 7.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.1.1

Fatore $2$ de $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 16}$

Etapa 7.1.4.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1.4.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (16)}$

Etapa 7.1.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 16}$

Etapa 7.1.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{12}{16}$

Etapa 7.1.4.2.2

Cancele o fator comum de $12$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$d = \frac{4 (3)}{16}$

Etapa 7.1.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Etapa 7.1.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Etapa 7.1.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{4}$

Etapa 7.1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 7.1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 10 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 16}$

Etapa 7.1.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.5.2.1.1

Eleve $24$ à potência de $2$ .

$e = 10 - \frac{576}{4 \cdot 16}$

Etapa 7.1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$e = 10 - \frac{576}{64}$

Etapa 7.1.5.2.1.3

Divida $576$ por $64$ .

$e = 10 - 1 \cdot 9$

Etapa 7.1.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$e = 10 - 9$

Etapa 7.1.5.2.2

Subtraia $9$ de $10$ .

$e = 1$

Etapa 7.1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $16 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{5} \sqrt{16 {(x + \frac{3}{4})}^{2} + 1} d x$

Etapa 7.2

Deixe $u = x + \frac{3}{4}$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = x + \frac{3}{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $x + \frac{3}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x + \frac{3}{4}]$

Etapa 7.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{3}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$

Etapa 7.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{4}]$

Etapa 7.2.1.4

Como $\frac{3}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + \frac{3}{4}$ .

$u_{lower} = - 1 + \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.3.2

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot 4 + 3}{4}$

Etapa 7.2.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$u_{lower} = \frac{- 4 + 3}{4}$

Etapa 7.2.3.4.2

Some $- 4$ e $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 7.2.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{lower} = - \frac{1}{4}$

Etapa 7.2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + \frac{3}{4}$ .

$u_{upper} = 5 + \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.5

Simplifique.

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Etapa 7.2.5.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.5.2

Combine $5$ e $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 7.2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{upper} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4}$

Etapa 7.2.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.5.4.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$u_{upper} = \frac{20 + 3}{4}$

Etapa 7.2.5.4.2

Some $20$ e $3$ .

$u_{upper} = \frac{23}{4}$

Etapa 7.2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - \frac{1}{4}$

$u_{upper} = \frac{23}{4}$

Etapa 7.2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- \frac{1}{4}}^{\frac{23}{4}} \sqrt{16 u^{2} + 1} d u$

Etapa 7.3

Deixe $u = \frac{1}{4} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ é positivo.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 {(\frac{1}{4} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4

Simplifique os termos.

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Etapa 7.4.1

Simplifique $\sqrt{16 {(\frac{1}{4} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Etapa 7.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 {(\frac{\tan (t)}{4})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\tan (t)}{4}$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{4^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.1.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{16} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.1.1.4

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{16 \frac{\tan^{2} (t)}{16} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.2

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.1

Combine $\sec (t)$ e $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.2.2

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.2.2.1

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{4} d t$

Etapa 7.4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{4} d t$

Etapa 7.4.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \frac{\sec^{3} (t)}{4} d t$

Etapa 7.5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec^{3} (t) d t$

Etapa 7.6

Aplique a fórmula da redução.

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \sec (t) d t)$

Etapa 7.7

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543})$

Etapa 7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Etapa 7.8.2

Para escrever $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Etapa 7.8.3

Combine $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2})$

Etapa 7.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$

Etapa 7.8.5

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$

Etapa 7.8.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.8.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{8}$

Etapa 7.9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.9.1

Avalie $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ em $1.52734543$ e em $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2}) - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- \frac{π}{4}}^{1.52734543}}{8}$

Etapa 7.9.2

Avalie $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ em $1.52734543$ e em $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2}) - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + (\ln (| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |)}{8}$

Etapa 7.9.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |)}{8}$

Etapa 7.10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.11.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{\tan (\frac{7 π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \tan (\frac{π}{4}) \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- 1 \cdot 1 \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (- \frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.5

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (\frac{7 π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \sec (\frac{π}{4})}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.7

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- \frac{2}{\sqrt{2}}}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (- \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.11.9.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ para o numerador.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.9.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{2 (- 1)}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2})) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - \frac{- 1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} - - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.11

Multiplique $- - \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

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Etapa 7.11.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} + 1 \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.11.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.52734543) \sec (1.52734543)}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.11.12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.11.12.1.1

Avalie $\tan (1.52734543)$ .

$\frac{2 (\frac{23 \sec (1.52734543)}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.12.1.2

Avalie $\sec (1.52734543)$ .

$\frac{2 (\frac{23 \cdot 23.02172886}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.12.2

Multiplique $23$ por $23.02172886$ .

$\frac{2 (\frac{529.49976392}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.12.3

Divida $529.49976392$ por $2$ .

$\frac{2 (264.74988196 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.13

Some $264.74988196$ e $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 265.45698874 + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.14

Multiplique $2$ por $265.45698874$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{| \sec (1.52734543) + \tan (1.52734543) |}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.15

$\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)$ é aproximadamente $46.02172886$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (- \frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.16

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.11.16.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (\frac{7 π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.16.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.16.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (- \frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.16.4

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{7 π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.16.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - \tan (\frac{π}{4}) |})}{8}$

Etapa 7.11.16.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.11.16.8.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.11.16.8.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.11.16.8.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.11.16.8.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.2.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.11.16.8.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.8.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{| \sqrt{2} - 1 |})}{8}$

Etapa 7.11.16.9

$\sqrt{2} - 1$ é aproximadamente $0.41421356$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{\sqrt{2} - 1})}{8}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{530.91397749 + \ln (\frac{\sec (1.52734543) + \tan (1.52734543)}{\sqrt{2} - 1})}{8}$

Forma decimal:

$66.95305809 \dots$

Etapa 9