Cálculo Exemplos

$y = 9 - x$ , $y = 3 x - 3$ , $x = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - x + 9$ e $g (x) = 3 x - 3$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(- x + 9)}^{2}$ como $(- x + 9) (- x + 9)$ .

$V = (- x + 9) (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Expanda $(- x + 9) (- x + 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x (- x + 9) + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x + 9) - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x (- x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$V = x^{2} - x \cdot 9 + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.5

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - 9 x + 9 (- x) + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 9 \cdot 9 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.7

Multiplique $9$ por $9$ .

$V = x^{2} - 9 x - 9 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.3.2

Subtraia $9 x$ de $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - {(3 x - 3)}^{2}$

Etapa 2.1.4

Reescreva ${(3 x - 3)}^{2}$ como $(3 x - 3) (3 x - 3)$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - ((3 x - 3) (3 x - 3))$

Etapa 2.1.5

Expanda $(3 x - 3) (3 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x - 3) - 3 (3 x - 3))$

Etapa 2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x - 3))$

Etapa 2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.1.6.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.1.6.1.4

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 3 (3 x) - 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.1.6.1.5

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x - 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.1.6.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 9 x - 9 x + 9)$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $9 x$ de $- 9 x$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2} - 18 x + 9)$

Etapa 2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$V = x^{2} - 18 x + 81 - (9 x^{2}) - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Etapa 2.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.1.8.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} - (- 18 x) - 1 \cdot 9$

Etapa 2.1.8.2

Multiplique $- 18$ por $- 1$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 1 \cdot 9$

Etapa 2.1.8.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$V = x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Combine os termos opostos em $x^{2} - 18 x + 81 - 9 x^{2} + 18 x - 9$ .

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Etapa 2.2.1.1

Some $- 18 x$ e $18 x$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} + 0 - 9$

Etapa 2.2.1.2

Some $x^{2} + 81 - 9 x^{2}$ e $0$ .

$V = x^{2} + 81 - 9 x^{2} - 9$

Etapa 2.2.2

Subtraia $9 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$V = - 8 x^{2} + 81 - 9$

Etapa 2.2.3

Subtraia $9$ de $81$ .

$V = - 8 x^{2} + 72$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{3} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Etapa 4

Como $- 8$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8$ para fora da integral.

$V = π (- 8 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 72 d x)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$V = π (- 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $0$ .

$V = π (- 8 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 72 x]_{0}^{3})$

Etapa 8.2

Avalie $72 x$ em $3$ e em $0$ .

$V = π (- 8 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 8.3.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (- 8 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (- 8 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 8.3.4.1

Fatore $3$ de $0$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$V = π (- 8 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$V = π (- 8 (9 - \frac{0}{1}) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (- 8 (9 - 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (- 8 (9 + 0) + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.6

Some $9$ e $0$ .

$V = π (- 8 \cdot 9 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.7

Multiplique $- 8$ por $9$ .

$V = π (- 72 + 72 \cdot 3 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.8

Multiplique $72$ por $3$ .

$V = π (- 72 + 216 - 72 \cdot 0)$

Etapa 8.3.9

Multiplique $- 72$ por $0$ .

$V = π (- 72 + 216 + 0)$

Etapa 8.3.10

Some $216$ e $0$ .

$V = π (- 72 + 216)$

Etapa 8.3.11

Some $- 72$ e $216$ .

$V = π \cdot 144$

Etapa 8.3.12

Mova $144$ para a esquerda de $π$ .

$V = 144 π$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = 144 π$

Forma decimal:

$V = 452.38934211 \dots$

Etapa 10