Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{2 π}{x})$

Etapa 1

Reescreva $x \sin (\frac{2 π}{x})$ como $\frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $2 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sin (2 π \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $2 π \cdot 0$ .

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{\sin (0 π)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{2 π}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{2 π}{x}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.3

Como $2 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 π}{x}$ em relação a $x$ é $2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- 2 π \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.7.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (\frac{- 2}{x^{2}} π)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $\frac{- 2}{x^{2}}$ e $π$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) \frac{- 2 π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (- \frac{2 π}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7.2.4

Combine $\cos (\frac{2 π}{x})$ e $\frac{2 π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{2 π}{x}) (2 π)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (\frac{2 π}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.7.3

Reordene os fatores em $- \frac{2 \cos (\frac{2 π}{x}) π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 2.3.8

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Etapa 2.3.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Etapa 2.5

Combine os fatores.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Etapa 2.5.3

Combine $\frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x})}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.6.2

Divida $2 π \cos (\frac{2 π}{x})$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 π \cos (\frac{2 π}{x})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 π lim_{x \to \infty} \cos (\frac{2 π}{x})$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 π \cos (lim_{x \to \infty} \frac{2 π}{x})$

Etapa 3.3

Mova o termo $2 π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 π \cos (2 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$2 π \cos (2 π \cdot 0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $2 π \cdot 0$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$2 π \cos (0 π)$

Etapa 5.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$2 π \cos (0)$

Etapa 5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 π \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 π$