Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Reordene $2$ e $- x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

Etapa 1.3.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é menos infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 x^{2} - 2 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{2}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $11$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.6

Some $22 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.9.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

Etapa 3.10

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

Etapa 4

Simplifique multiplicando.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{22 x - 2}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

Etapa 4.3

Multiplique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $22$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

Etapa 5

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é menos infinito.

$- \infty$