Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5} + 4 x^{3} - 8}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + 4 x^{3} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6

Some $5 x^{4} + 12 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{5} - 3 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{5}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $5$ por $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + 0}$

Etapa 3.11

Some $35 x^{4} - 6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.1.2

Divida $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $35$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x$ de $- 6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x^{4}}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6}{x^{3}}}$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 5.6

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 + 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $35$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

Etapa 7.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 \cdot 0}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{5 + 0}{35 - 6 \cdot 0}$

Etapa 9.1.2

Some $5$ e $0$ .

$\frac{5}{35 - 6 \cdot 0}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$\frac{5}{35 + 0}$

Etapa 9.2.2

Some $35$ e $0$ .

$\frac{5}{35}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $5$ e $35$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{35}$

Etapa 9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $5$ de $35$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7}$