Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite de $\arcsin (x)$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.2

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Etapa 5.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Etapa 5.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Etapa 5.7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 7.1.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 7.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 7.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$