Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x^{2} + 9} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.11

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.13

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.14

Combine $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.15

Mova ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.16

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.17

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 5.2.1.2

Some $1$ e $9$ .

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 6

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ é $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ , que é negativo, então o gráfico diminui no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Decréscimo em $(- \infty, \infty)$

Etapa 7

Decréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre decrescente.

Sempre decrescente

Etapa 8