Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ como ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 20 - x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 - x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.1.9

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.1.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 1.1.14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

Etapa 1.1.16

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

Etapa 1.1.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.17.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ .

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17.2

Multiplique $- 1 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 + 2 x = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ como ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.6.1

Multiplique $4$ por $20$ .

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.6.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Fatore $- 4$ de $80 - 4 x - 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1.1.1

Mova $80$ .

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

Etapa 4.3.3.1.1.1.2

Reordene $- 4 x$ e $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Etapa 4.3.3.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Etapa 4.3.3.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Etapa 4.3.3.1.1.4

Fatore $- 4$ de $80$ .

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

Etapa 4.3.3.1.1.5

Fatore $- 4$ de $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ .

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

Etapa 4.3.3.1.1.6

Fatore $- 4$ de $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ .

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

Etapa 4.3.3.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.2.1

Fatore $x^{2} + x - 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $1$ .

$- 4, 5$

Etapa 4.3.3.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Etapa 4.3.3.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

Etapa 4.3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4.3.3.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.3.3.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4.3.3.4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.3.3.4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.3.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 5$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$20 - x - x^{2} < 0$

Etapa 4.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$20 - x - x^{2} = 0$

Etapa 4.5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Fatore $- 1$ de $20 - x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1.1

Mova $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Etapa 4.5.2.1.1.2

Reordene $- x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Etapa 4.5.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Etapa 4.5.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Etapa 4.5.2.1.4

Reescreva $20$ como $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Etapa 4.5.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Etapa 4.5.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Etapa 4.5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Fatore $x^{2} + x - 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $1$ .

$- 4, 5$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Etapa 4.5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Etapa 4.5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4.5.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.5.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4.5.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.5.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.5.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 4) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 5$

Etapa 4.5.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 4.5.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 4.5.8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

Etapa 4.5.8.1.3

O lado esquerdo $- 36$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.5.8.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.5.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

Etapa 4.5.8.2.3

O lado esquerdo $20$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.5.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 4.5.8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

Etapa 4.5.8.3.3

O lado esquerdo $- 22$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.5.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 4.5.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $x > 4$

Etapa 4.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $12$ de $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $20$ e $6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.3

Subtraia $36$ de $26$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 5)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 5)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5, - \frac{1}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.75$ na expressão.

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $5.5$ de $1$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Eleve $- 2.75$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $7.5625$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $20$ e $2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $7.5625$ de $22.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.4

Reescreva $15.1875$ como ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 7.2.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 7.2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Etapa 7.2.2.7

Avalie o expoente.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $2$ por $3.89711431$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $- 4.5$ por $7.79422863$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Etapa 7.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 0.57735026$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.57735026$ .

$0.57735026$

Etapa 7.3

Em $x = - 2.75$ , a derivada é $0.57735026$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 5, - \frac{1}{2})$ .

Acréscimo em $(- 5, - \frac{1}{2})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 0.5, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.75$ na expressão.

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Some $1$ e $3.5$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Eleve $1.75$ à potência de $2$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3.0625$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $1.75$ de $20$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.3

Subtraia $3.0625$ de $18.25$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.4

Reescreva $15.1875$ como ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 8.2.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 8.2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Etapa 8.2.2.7

Avalie o expoente.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $2$ por $3.89711431$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

Etapa 8.2.3.2

Divida $4.5$ por $7.79422863$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $0.57735026$ .

$f' (1.75) = - 0.57735026$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.57735026$ .

$- 0.57735026$

Etapa 8.3

Em $x = 1.75$ , a derivada é $- 0.57735026$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 0.5, 4)$ .

Decréscimo em $(- \frac{1}{2}, 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2

Some $1$ e $10$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $5$ de $20$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2.3

Subtraia $25$ de $15$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.3

Em $x = 5$ , a derivada é $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(4, \infty)$ .

Decréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 5, - \frac{1}{2})$

Decréscimo em: $(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$

Etapa 11