Cálculo Exemplos

$y = \ln^{3} (x)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \ln^{3} (y)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\ln^{3} (y) = x$ .

$\ln^{3} (y) = x$

Etapa 2.2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$\ln^{3} (y) = x$

Etapa 2.2.2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

Etapa 2.2.2.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

Etapa 2.2.2.4

Reescreva a equação como $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ é o inverso de $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Etapa 4.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Etapa 4.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

Etapa 4.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

Etapa 4.3.3

Use as regras logarítmicas para mover $\sqrt[3]{x}$ para fora do expoente.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

Etapa 4.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\sqrt[3]{x}$ por $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Etapa 4.3.6

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Etapa 4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 4.3.6.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Etapa 4.3.6.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Etapa 4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Etapa 4.3.6.5

Simplifique.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ é o inverso de $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$