Cálculo Exemplos

${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

Etapa 1

Escreva ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ como uma função.

$f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ e $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 {(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 {(x + 1)}^{6}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{6}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f'' (x) = 7 (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.6

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.2.8

Multiplique $6$ por $7$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + \frac{d}{d x} (- 7)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $42 {(x + 1)}^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2.5

Some $1$ e $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.2.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

Etapa 6.2

Simplifique $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Use o teorema binomial.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 1 + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1 + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.3

Multiplique $15$ por $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1 + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.5

Multiplique $20$ por $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1 + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.7

Multiplique $15$ por $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1 + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.9

Multiplique $6$ por $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1^{6}) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.2.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1) - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x^{6} + 7 (6 x^{5}) + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Multiplique $6$ por $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.4.2

Multiplique $15$ por $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.4.3

Multiplique $20$ por $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.4.4

Multiplique $15$ por $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.4.5

Multiplique $6$ por $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Etapa 6.2.1.4.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7 = 0$

Etapa 6.2.2

Combine os termos opostos em $7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $7$ de $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 0 = 0$

Etapa 6.2.2.2

Some $7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x$ e $0$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x = 0$

Etapa 6.3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - 2, 0$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2, 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$42 {((- 2) + 1)}^{5}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Some $- 2$ e $1$ .

$42 {(- 1)}^{5}$

Etapa 10.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$42 \cdot - 1$

Etapa 10.3

Multiplique $42$ por $- 1$ .

$- 42$

Etapa 11

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {((- 2) + 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Some $- 2$ e $1$ .

$f (- 2) = {(- 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$f (- 2) = - 1 - 7 \cdot - 2 - 3$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 7$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + 14 - 3$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $- 1$ e $14$ .

$f (- 2) = 13 - 3$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $3$ de $13$ .

$f (- 2) = 10$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $10$ .

$y = 10$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$42 {((0) + 1)}^{5}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Some $0$ e $1$ .

$42 \cdot 1^{5}$

Etapa 14.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$42 \cdot 1$

Etapa 14.3

Multiplique $42$ por $1$ .

$42$

Etapa 15

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {((0) + 1)}^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

Etapa 16.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (0) = 1 - 7 \cdot 0 - 3$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$f (0) = 1 + 0 - 3$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = 1 - 3$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ .

$(- 2, 10)$ é um máximo local

$(0, - 2)$ é um mínimo local

Etapa 18