Cálculo Exemplos

$8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Etapa 1

Escreva $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ como uma função.

$f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{128}{x}$ em relação a $x$ é $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Combine $- 128$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.5.2.3

Some $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ e $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{128}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Etapa 3.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Etapa 3.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Etapa 3.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 3.3.10

Multiplique $- 2$ por $- 128$ .

$f'' (x) = 16 + 256 x^{- 3}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 16 + 256 (\frac{1}{x^{3}})$

Etapa 3.4.2

Combine $256$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{256}{x^{3}}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 16$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{128}{x}$ em relação a $x$ é $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Etapa 5.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 5.1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.2.1

Combine $- 128$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Etapa 5.1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Etapa 5.1.5.2.3

Some $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = 16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 6.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo em $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo em $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$16 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$16 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$16 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$16 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{128}{x^{2}}$ para o numerador.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$16 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$16 x^{3} - 128 = 0$

Etapa 6.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Some $128$ aos dois lados da equação.

$16 x^{3} = 128$

Etapa 6.4.2

Subtraia $128$ dos dois lados da equação.

$16 x^{3} - 128 = 0$

Etapa 6.4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Fatore $16$ de $16 x^{3} - 128$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1.1

Fatore $16$ de $16 x^{3}$ .

$16 (x^{3}) - 128 = 0$

Etapa 6.4.3.1.2

Fatore $16$ de $- 128$ .

$16 x^{3} + 16 \cdot - 8 = 0$

Etapa 6.4.3.1.3

Fatore $16$ de $16 x^{3} + 16 \cdot - 8$ .

$16 (x^{3} - 8) = 0$

Etapa 6.4.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$16 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Etapa 6.4.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.4.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.4.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.4.3.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Etapa 6.4.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Etapa 6.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 6.4.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.4.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.4.6

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.1

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 6.4.6.2

Resolva $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.4.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 6.4.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 6.4.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 6.4.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.4.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 6.4.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 6.4.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 6.4.7

A solução final são todos os valores que tornam $16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{128}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 7.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{256}{{(2)}^{3}} + 16$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{256}{8} + 16$

Etapa 10.1.2

Divida $256$ por $8$ .

$32 + 16$

Etapa 10.2

Some $32$ e $16$ .

$48$

Etapa 11

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 8 {(2)}^{2} + \frac{128}{2} - 6$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 8 \cdot 4 + \frac{128}{2} - 6$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$f (2) = 32 + \frac{128}{2} - 6$

Etapa 12.2.1.3

Divida $128$ por $2$ .

$f (2) = 32 + 64 - 6$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $32$ e $64$ .

$f (2) = 96 - 6$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $6$ de $96$ .

$f (2) = 90$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $90$ .

$y = 90$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ .

$(2, 90)$ é um mínimo local

Etapa 14