Cálculo Exemplos

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Etapa 1

Escreva $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Fatore $2$ de $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $2$ de $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Etapa 2.1.1.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Etapa 2.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Etapa 2.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Etapa 2.1.1.4.4

Divida $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Etapa 2.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 e^{- x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 3.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 3.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 3.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Cancele o fator comum de $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1.1

Fatore $2$ de $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Etapa 5.1.1.1.2

Fatore $2$ de $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Etapa 5.1.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Etapa 5.1.1.1.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Etapa 5.1.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Etapa 5.1.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Etapa 5.1.1.1.4.4

Divida $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Etapa 5.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Etapa 5.1.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Etapa 5.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Etapa 5.1.5.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Etapa 6.2

Mova $- 2 e^{- x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

Etapa 6.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Etapa 6.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Reescreva $\ln (2 e^{x})$ como $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Etapa 6.4.2

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

Etapa 6.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

Etapa 6.4.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

Etapa 6.5

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva $\ln (2 e^{- x})$ como $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

Etapa 6.5.2

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

Etapa 6.5.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

Etapa 6.5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

Etapa 6.6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

Etapa 6.7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

Etapa 6.8

Divida $2$ por $2$ .

$\ln (1) = - x - x$

Etapa 6.9

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 = - x - x$

Etapa 6.10

Subtraia $x$ de $- x$ .

$0 = - 2 x$

Etapa 6.11

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 2 x = 0$

Etapa 6.12

Divida cada termo em $- 2 x = 0$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.1

Divida cada termo em $- 2 x = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 6.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 6.12.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Etapa 6.12.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$x = 0$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 e^{- (0)}$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 + 2 e^{0}$

Etapa 10.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Etapa 10.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2$

Etapa 10.2

Some $2$ e $2$ .

$4$

Etapa 11

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Fatore $2$ de $4 e^{0}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

Etapa 12.2.1.2

Fatore $2$ de $4 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

Etapa 12.2.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

Etapa 12.2.1.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

Etapa 12.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

Etapa 12.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

Etapa 12.2.1.4.4

Divida $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ por $1$ .

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Etapa 12.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

Etapa 12.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

Etapa 12.2.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Etapa 12.2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Etapa 12.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f (0) = 4$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 4)$ é um mínimo local

Etapa 14