Cálculo Exemplos

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Etapa 1

Escreva $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ como uma função.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

Etapa 2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Etapa 2.2

Subtraia $\frac{4}{x}$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

Etapa 2.3

Some $y$ aos dois lados da equação.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

Etapa 2.4

Some $\frac{9}{y}$ aos dois lados da equação.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

Etapa 2.5

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

Etapa 3

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.5.2

Como $\frac{9}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.5.3

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Etapa 3.6.2

Combine os termos.

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Etapa 3.6.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Etapa 3.6.2.2

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

Etapa 3.6.2.3

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

Etapa 3.6.2.4

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

Etapa 3.6.3

Reordene os termos.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

Etapa 4

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.2.10

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por cada elemento da matriz.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Fatore $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Combine $f$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.3.3.2.2

Combine $\frac{f}{x}$ e $y$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 4.5.2

Combine os termos.

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Etapa 4.5.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 4.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 4.5.2.3

Some $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Etapa 5

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

Etapa 6

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 7

Nenhum extremo local

Etapa 8