Cálculo Exemplos

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Etapa 1

Escreva $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ como uma função.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Etapa 2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Etapa 2.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Etapa 2.3

Some $16 x$ aos dois lados da equação.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Etapa 3

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f (x, y) - x y - y + 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 3.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 3.4

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Etapa 4

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.1.2

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por cada elemento da matriz.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Fatore $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Combine $f$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.2.3.2.2

Combine $\frac{f}{x}$ e $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 4.3

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 4.4.2

Some $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Etapa 5

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Etapa 6

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 6.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 6.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f (x, y) - x y - y + 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 6.1.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 6.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 6.1.4

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Etapa 6.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Etapa 6.1.5.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Etapa 6.1.5.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Etapa 6.1.6

Simplifique.

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Etapa 6.1.6.1

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Etapa 6.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Etapa 6.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Etapa 7

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

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Etapa 7.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Etapa 7.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por cada elemento da matriz.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Etapa 7.2.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.3.1.1

Fatore $x$ de $f x$ .

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Etapa 7.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Etapa 7.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Etapa 7.2.3.2.1

Combine $f$ e $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Etapa 7.2.3.2.2

Combine $\frac{f}{x}$ e $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Etapa 7.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.3.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Etapa 7.3.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Etapa 8

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{d}{d x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$d x = 0$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $d x = 0$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $d x = 0$ por $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $d$ por $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

Divida $0$ por $x$ .

$d = 0$

Etapa 8.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 9

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Multiplique $d$ por $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Etapa 11.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 12

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 13