Cálculo Exemplos

$f (x, y) = {(x - 1)}^{2} + y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 5$

Etapa 1

Escreva $f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$ como uma função.

$f (x) = f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6$

Etapa 2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Subtraia ${(x - 1)}^{2}$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} = y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 5$

Etapa 2.2

Subtraia $y^{3}$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} = - 3 y^{2} - 9 y + 5$

Etapa 2.3

Some $3 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} = - 9 y + 5$

Etapa 2.4

Some $9 y$ aos dois lados da equação.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y = 5$

Etapa 2.5

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3

Simplifique $f (x, y) - {(x - 1)}^{2} - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5$ .

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x, y) - ((x - 1) (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) - (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x, y) - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) - (x^{2} - x - x + 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f (x, y) - (x^{2} - 2 x + 1) - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - 1 - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 5 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f (x, y) - x^{2} + 2 x - y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.5.1

Como $- y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.5.2

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.5.3

Como $9 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 4.5.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + 0$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Combine os termos.

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Etapa 4.6.1.1

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0$

Etapa 4.6.1.2

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0$

Etapa 4.6.1.3

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0$

Etapa 4.6.1.4

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$

Etapa 4.6.2

Reordene os termos.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

Etapa 5

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 5.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por cada elemento da matriz.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Combine $f$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.3.3.2.2

Combine $\frac{f}{x}$ e $y$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 5.4.2

Some $- 2 + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Etapa 6

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

Etapa 7

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 7.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 7.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1.5.1

Como $- y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.5.2

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.5.3

Como $9 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 7.1.5.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0 + 0$

Etapa 7.1.6

Simplifique.

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Etapa 7.1.6.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.1

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0 + 0$

Etapa 7.1.6.1.2

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0 + 0$

Etapa 7.1.6.1.3

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2 + 0$

Etapa 7.1.6.1.4

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 2 x + 2$

Etapa 7.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 2$

Etapa 7.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2$

Etapa 8

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 2 = 0$

Etapa 9

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{d}{d x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$d x = 0$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $d x = 0$ por $d$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $d x = 0$ por $d$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Divida $0$ por $d$ .

$x = 0$

Etapa 10

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Multiplique $d$ por $0$ .

$- 2 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Etapa 12.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 13

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 14