Cálculo Exemplos

$y = \cot (9 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x$ .

$- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \cdot 1$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$f' (x) = - 9 \csc^{2} (9 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 \csc^{2} (9 x)$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (9 x)$ .

$- 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (9 x)$ .

$- 9 (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$- 18 (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $- 18$ .

$18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.6

Eleve $\csc (9 x)$ à potência de $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.7

Eleve $\csc (9 x)$ à potência de $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$18 \csc^{2} (9 x) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 2.10

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.11

Multiplique $9$ por $18$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \cdot 1$

Etapa 2.13

Multiplique $162$ por $1$ .

$f'' (x) = 162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$ em relação a $x$ é $162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$ .

$162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \csc^{2} (9 x)$ e $g (x) = \cot (9 x)$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)] + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $9 x$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cot (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $9 x$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.4

Multiplique $\csc^{2} (9 x)$ por $\csc^{2} (9 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $\csc^{2} (9 x)$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$162 ({\csc (9 x)}^{2 + 2} (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $2$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- (9 \frac{d}{d x} [x])) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.5.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \cdot 1) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.4.1

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) \cdot - 9 + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.5.4.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $\csc^{4} (9 x)$ .

$162 (- 9 \cdot \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\csc (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\csc (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\cot (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cdot \cot (9 x) \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $9 x$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\csc (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.8.2

A derivada de $\csc (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \csc (u_{3}) \cot (u_{3})$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (u_{3}) \cot (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $9 x$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.10

Eleve $\cot (9 x)$ à potência de $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.11

Eleve $\cot (9 x)$ à potência de $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot^{1} (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 {\cot (9 x)}^{1 + 1} \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.13

Some $1$ e $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 3.14

Eleve $\csc (9 x)$ à potência de $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 3.15

Eleve $\csc (9 x)$ à potência de $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) {\csc (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 3.17

Some $1$ e $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Etapa 3.18

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.19

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \cdot 1)$

Etapa 3.21

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Etapa 3.22

Simplifique.

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Etapa 3.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x)) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Etapa 3.22.2

Combine os termos.

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Etapa 3.22.2.1

Multiplique $- 9$ por $162$ .

$- 1458 \csc^{4} (9 x) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Etapa 3.22.2.2

Multiplique $- 18$ por $162$ .

$- 1458 \csc^{4} (9 x) - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$

Etapa 3.22.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $- 2916$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$ em relação a $x$ é $- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ .

$- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot^{2} (9 x)$ e $g (x) = \csc^{2} (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)] + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Etapa 4.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 4.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.4.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (9 x)$ .

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Etapa 4.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 4.2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cot (u_{4})] \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.8.2

A derivada de $\cot (u_{4})$ em relação a $u_{4}$ é $- \csc^{2} (u_{4})$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.11

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.12

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.13

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.14

Eleve $\csc (9 x)$ à potência de $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.15

Eleve $\csc (9 x)$ à potência de $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.17

Some $1$ e $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.18

Multiplique $\cot^{2} (9 x)$ por $\cot (9 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.18.1

Mova $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.18.2

Multiplique $\cot (9 x)$ por $\cot^{2} (9 x)$ .

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Etapa 4.2.18.2.1

Eleve $\cot (9 x)$ à potência de $1$ .

$- 2916 (\cot^{1} (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.18.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2916 ({\cot (9 x)}^{1 + 2} (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.18.3

Some $1$ e $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.19

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \cdot 9))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.20

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- 9 \csc^{2} (9 x)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.21

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x) \csc^{2} (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.22

Multiplique $\csc^{2} (9 x)$ por $\csc^{2} (9 x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.22.1

Mova $\csc^{2} (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + {\csc (9 x)}^{2 + 2} (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.2.22.3

Some $2$ e $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 1458$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1458 \csc^{4} (9 x)$ em relação a $x$ é $- 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{5}$ como $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ é $n {u_{5}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{5}$ por $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{6}$ como $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\csc (u_{6})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\csc (u_{6})$ em relação a $u_{6}$ é $- \csc (u_{6}) \cot (u_{6})$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (u_{6}) \cot (u_{6}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{6}$ por $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Etapa 4.3.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1)))$

Etapa 4.3.6

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9))$

Etapa 4.3.7

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x)))$

Etapa 4.3.8

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{3} (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x)))$

Etapa 4.3.9

Eleve $\csc (9 x)$ à potência de $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 (\csc^{1} (9 x) \csc^{3} (9 x)) \cot (9 x))$

Etapa 4.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 {\csc (9 x)}^{1 + 3} \cot (9 x))$

Etapa 4.3.11

Some $1$ e $3$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x))$

Etapa 4.3.12

Multiplique $- 36$ por $- 1458$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $- 18$ por $- 2916$ .

$52488 (\cot^{3} (9 x) (\csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $- 18$ por $- 2916$ .

$52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 52488 (\csc^{4} (9 x) (\cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Etapa 4.4.2.3

Some $52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ e $52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ .

$f^{4} (x) = 52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 104976 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$