Cálculo Exemplos

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

Etapa 1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

Etapa 1.2.4

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ e $6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

Etapa 1.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{\frac{7}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Etapa 1.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Etapa 1.8.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.9

Combine $\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Etapa 1.10

Combine $4$ e $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Etapa 1.11

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Etapa 1.12

Fatore $2$ de $28 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Etapa 1.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 1.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Etapa 1.13.4

Divida $14 x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2.8

Combine $14$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Etapa 2.9

Multiplique $5$ por $14$ .

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2.10

Fatore $2$ de $70 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Etapa 2.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Etapa 2.11.4

Divida $35 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$